B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Príklad 54. Vyšetri priebeh funkcie
Príklady
x
y = .
x − 2
Riešenie (Obr. 51). Postupujeme podľa schémy.
Lekcia 9 – Priebeh funkcií
Definičný obor. Definičný obor je všetko, čo má zmysel dosadiť za x. Teda
{} 2
D ( y)
= ℜ − .
Obor hodnôt. Nájdeme ho tak, že nájdeme definičný obor inverznej funkcie.
2y
Inverzná funkcia je x = , preto H ( y)
= ℜ − { 1}
.
y −1
Body nespojitosti. Bod nespojitosti je tam, kde funkcia nie je definovaná. Preto
{} 2
B = .
N
Nulové body. Nájdeme ich tak, že funkciu položíme rovnú nule. Teda 0
2 =
x
.
x −
Riešime metódou „pozriem a vidím“ alebo korektnejšie ekvivalentnými úpravami takto:
x x − 2 + 2 2
= = 1 + = 0 , preto 2 = 2 − x , teda x = 0 . Z toho vyplýva, že
x − 2 x − 2 x − 2
0 ; 0 .
nulový bod je bod [ ]
Stacionárne body. Deriváciu položíme rovnú nule:
'
⎛ x ⎞ − 2
⎜ ⎟ =
⎝ x − 2 ⎠ x
( − 2)
2 =
0 . Táto
rovnica ale rovná nule nie je nikdy, pretože čitateľ je jasne záporný a menovateľ kvôli
druhej mocnine vždy kladný (okrem bodu x = 0 , ale o tom už vieme, že je nulový bod).
Stacionárne body táto funkcia teda nemá.
Intervaly monotónnosti. Bod nespojitosti rozdelil záujmovú oblasť na dva
intervaly. Lenže z vyšetrenia stacionárnych bodov vyplynulo, že prvá derivácia je
záporná aj pre x < 2 , aj pre x > 2 . Preto funkcia je klesajúca na intervale ( −∞ ;2)
a na
intervale ( ; ∞)
2 .
Poznámka. Keby niekto napísal, že funkcia je klesajúca na zjednotení týchto
intervalov, mýlil by sa, pretože napríklad na intervale − 3;
3 funkcia klesajúca nie je
(stačí dosadiť do predpisu funkcie bod menší a väčší od 2).
97