B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

a. x
b. x + 5
Príklad 50. Vypočítaj derivácie nasledovných funkcií:
c. x , x ∈ − 5; −3
d. x , x ∈ − 5;
5
x
e.
x
Riešenie.
Lekcia 8 – Derivácie elementárnych funkcií
a. Deriváciu nie je možné vypočítať, pretože v bode 0 derivácia neexistuje. Na funkcii
je zlom.
b. Deriváciu nie je možné vypočítať, pretože v bode -5 derivácia neexistuje. Na funkcii
je zlom.
c. ( ) ': x ∈ − 5;
−3
⇔ ( − x)
':
x ∈ − 5;
−3
x , preto ( − x ) ' = 1.
Hoci je na funkcii zlom,
deriváciu máme počítať len na intervale, kde tento zlom nie je. V každom bode
zadaného intervalu derivácia existuje.
d. Deriváciu nie je možné vypočítať, pretože zadaný interval nie je podmnožinou
definičného oboru.
e. Deriváciu nie je možné vypočítať, pretože v bode 0 funkcia nie je definovaná. Ale
'
⎛ x ⎞
∀x
∈ℜ
− {} 0 : ⎜ ⎟ = () 1 '=
0 .
⎝ x ⎠
Poznámka. Pri obvyklých príkladoch sa neudáva interval, na ktorom máme
počítať deriváciu. V tomto prípade sa vždy postupuje tak, že sa derivácia počíta na
definičnom obore. Iba ak sa stane, že máme presne zadaný interval záujmu, treba sa mať
na pozore. Môže sa stať, že derivácia nebude existovať, alebo že funkcia nebude na
danom intervale existovať. Môže sa ale stať, že je zadaný interval, na ktorom deriváciu
je možné vypočítať, hoci na definičnom obore to možné nie je.
a. ( sin x)
''
''
Príklad 51. Vyššie derivácie. Vypočítaj derivácie nasledovných funkcií:
x
b. ( )
( ) 20
( )
e c. ( ) 20 2x
e
89