B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Lekcia 2 – Riešenie rovníc
d. Na oboch stranách je π s rovnakým znamienkom, preto sa zrušia a máme
0 = −arc
cot g(
4x)
, čiže arc cot g(
4x)
= 0 . Aplikujeme inverznú funkciu a máme
( 0)
4x = cot g . Obe strany rovnice predelíme 4 a výsledok je x = 0, 25cot
g(
0)
= ∞ .
Príklad 17. Vyrieš nasledovné hyperbolické rovnice:
a. 2 sinh( x / 3)
= 5
b. cosh( 2x
) = 2 cosh(
2x)
− 9
c.
3
tanh
( 6x)
= 6
Riešenie.
d.
cot gh
− 2 = −3
+
2
( x / 5)
a. Najskôr predelíme obe strany rovnice dvojkou a dostaneme sinh( x / 3)
= 5/
2 .
Aplikujeme inverznú funkciu a dostaneme x / 3 = argsinh(
5/
2)
. Vynásobíme obe
strany trojkou a výsledok je x = 3argsinh(
5/
2)
.
Poznámka. Ak by sa niekto rozhodol pre iný postup, mohol by zadanú rovnicu
/ 3 − x / 3
−
2 sinh( x / 3)
= 5 prepísať pomocou exponenciál na 2 = 5
2
x
e e
. Dvojky sa vykrátia
/ 3 − x / 3
a ostane − = 5
x
e e . Exponenciálne rovnice riešme logaritmovaním, preto obe
/ 3 − x / 3
strany zlogaritmujeme a máme log(
− ) = log5
x
e
e . Tým sme sa ale dostali do slepej
uličky, pretože logaritmus rozdielu (ako aj súčtu) sa ďalej upraviť nedá.
Poznámka. Výsledok zapísaný pomocou hyperbolometrickej funkcie je možné
upraviť ešte pomocou logaritmu nasledovne:
2 ( 5 / 2)
⎟⎞ ⎠
x = 3argsinh(
5 / 2)
= 3ln⎜⎛
5 / 2 +
⎝
+ 1 . V takto zapísanom výsledku sa nám ale
nič nezjednodušilo, tak či onak je na vyčíslenie potrebný počítač alebo kalkulačka.
b. Od oboch strán rovnice odčítame cosh(
2x)
2 , dostaneme − cosh( 2x
) = −9
, čo je to
isté, ako cosh( 2x
) = 9 . Aplikujeme inverznú funkciu a dostaneme 2 x = arg cosh 9.
Predelíme 2 a výsledok je x = 0,
5arg
cosh 9 . Ak by bolo potrebné, vyčíslime na
kalkulačke.
27