B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
24
x
–x/6 dáme pred logaritmus, dostaneme − ln e = ln(
1/
5)
, čo je to isté, ako
6
6 =
x
−
ln
( 1/
5)
. Obe strany už len vynásobíme -6 a výsledok je = −6
ln(
1/
5)
x .
9(
x+
1)
c. Od oboch strán rovnice odčítame 21, dostaneme 5 = −40
a zlogaritmujeme pri
9(
x+
1)
základe 5, čím dostaneme log 5 5 = log 5 ( − 40)
a dostaneme 9 + 1)
log 5 = log ( − 40)
( 5
5
. 9x+9 dáme pred logaritmus
x , čo je to isté, ako 9x + 1 = log 5 ( − 40)
. Od
oboch strán odčítame 1, 9 = log 5 ( − 40)
−1
x , obe strany rovnice predelíme 9
1
a výsledok je x = ( log 5 ( − 40)
−1)
. Úpravy boli ale aj tak zbytočné, pretože rovnica
9
aj tak nemá riešenie, keďže logaritmus záporných čísel nie je definovaný.
d. K obom stranám rovnice pričítame 3, dostaneme 3 2
9 /
− = −
x
. Obe strany kvôli
prehľadnosti vynásobíme -1, čím dostaneme 3 2
9 / x
= . Zlogaritmujeme pri základe
x / 9
3, čím dostaneme 3 = log 2 . x/9 dáme pred logaritmus a dostaneme
log 3
3
x
x
log 3 3 = log 3 2 , čo je to isté, ako = log 3 2 . Obe strany rovnice vynásobíme 3
3
3
a výsledok je x = log 2 .
3 3
Príklad 15. Vyrieš nasledovné goniometrické rovnice:
o
a. ( )
2sin ϕ + 5 + 2= 3
2
4
b. 0 , 5cos(
2ϕ
) − = 0
Riešenie.
c. − tan ( ϕ ) + 200 = 200
d. cot g(
) + 2 3 = 7 3 / 3
− ϕ
a. Od oboch strán rovnice odčítame 2, dostaneme 2 sin(
+ 5°
) = 1
dostaneme sin ( + 5°
) = 0,
5
ϕ a predelíme 2, čím
ϕ . Výsledok je ϕ + 5 ° = arcsin 0,
5,
čiže
ϕ = arcsin 0,
5 − 5°
. Kalkulačka dá výsledok 30°-5°=25°. Ako už bolo povedané,
goniometrické funkcie sú periodické, preto nás takýto rýchly postup pripravil
o polovicu pravdy. Korektné riešenie sa dosiahne otázkou: Sínus akého uhla je 0,5?
Pomocou jednotkovej kružnice a dĺžky 0,5 na osi y vidíme, že riešenie je 30° a 150°.
Po odčítaní 5° dostaneme 25° a 145°. Ani toto ešte nie je koniec, pretože sínus má