B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
102
Intervaly monotónnosti. Stacionárne body rozdelili záujmovú oblasť na tri
intervaly: ( − ∞;−1)
, ( − 1;
1)
, ( ; ∞)
1 . Intervaly rastu a klesania zistíme tak, že dosadíme
akékoľvek číslo z jednotlivých intervalov a zistíme, či je v nich prvá derivácia kladná
alebo záporná. Zvolíme, napríklad, hodnoty { 2;
0;
2}
− . Dosadíme a máme
y ' ( −2)
= 9 > 0 , y ' ( 0)
= −3
< 0 , y ' ( 2)
= 9 > 0 . Preto na intervale ( − ∞;−1)
je funkcia
rastúca, na intervale ( − 1;
1)
je klesajúca a na intervale ( ; ∞)
1 je rastúca.
Intervaly konvexnosti a konkávnosti. Vypočítame druhú deriváciu: y '' = 6x.
Táto funkcia je podľa lekcie 2 kladná pre kladné reálne čísla a záporná pre záporné
reálne čísla. Preto na intervale ( − ∞;
0)
je funkcia rýdzo konkávna a na intervale ( 0 ; ∞)
je rýdzo konvexná.
Lokálne a globálne extrémy. Z vyšetrenia stacionárnych bodov vyplýva, že prvá
derivácia je nulová pre x = ± 1.
Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti už máme aj
druhú deriváciu. Druhá derivácia v stacionárnych bodoch je: y ' '(
−1)
= −6
< 0 ,
y ' '(
1)
= 6 > 0 . Preto v bode x = −1
je ostré lokálne maximum a v bode x = 1 je ostré
lokálne minimum. Globálne extrémy funkcia nemá.
Poznámka. Ako viem, že je ostré? Tak, že stacionárny bod je osamotený, nie je
to interval stacionárnych bodov.
Inflexné body. Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti vyplýva, že druhá
derivácia je nulová iba v bode x = 0 : y ' '(
0)
= 0 . Navyše sa v tomto bode mení funkcia
z konkávnej na konvexnú, preto v bode x = 0 je inflexný bod.
Asymptoty. Asymptoty bez smernice nie sú, pretože funkcia je spojitá pre ∀ℜ .
Smernicou pre asymptoty so smernicou (rovnica y = kx + q ) zistíme pomocou limít:
f( x)
2
k1,2 = lim = lim ( x − 3)
=∞. Limity sú nevlastné, preto funkcia nemá ani
x→±∞ x x→±∞
asymptoty so smernicou.
Záver. Na základe predošlých výsledkov je možné načrtnúť graf: