B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

More documents

Recommendations

Info

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie 100 Stacionárne body. Prvú deriváciu položíme rovnú nule: 1 ' 1 ' 1 0 2 = − = ⎟ ⎛ ⎞ 1 y = ⎜ x + . Z tohto vyplýva, že 1 2 ⎝ x ⎠ x = . Stacionárne body sú teda dva: x x = ± 1. Intervaly monotónnosti. Bod nespojitosti a stacionárne body rozdelili záujmovú oblasť na štyri intervaly: ( − ∞;−1) , ( − 1; 0) , ( 0 ; 1) , ( ; ∞) 1 . Intervaly rastu a klesania zistíme tak, že dosadíme akékoľvek číslo z jednotlivých intervalov a zistíme, či je v nich prvá derivácia kladná alebo záporná. Zvolíme, napríklad, hodnoty { 2; −0, 5; 0, 5; 2} − . Dosadíme a máme y ' ( −2) = 0, 75 > 0 , y ' ( −0, 5) = −3 < 0 , y ' ( 0, 5) = −3 < 0 , y ' ( 2) = 0, 75 > 0 . Preto na intervale ( − ∞;−1) je funkcia rastúca, na intervale ( − 1; 0) klesajúca, na intervale ( 0 ; 1) klesajúca a na intervale ( ; ∞) 1 rastúca. Intervaly konvexnosti a konkávnosti. Vypočítame druhú deriváciu: ⎛ ⎝ 1 '' ⎞ + x ⎠ 1 ' ⎛ ⎞ − ⎝ x ⎠ reálne čísla a záporná pre záporné reálne čísla (v nule nie je definovaná). Preto na −3 y '' = ⎜ x ⎟ = ⎜1 = 2 2 ⎟ x . Táto funkcia je podľa lekcie 2 kladná pre kladné intervale ( − ∞; 0) je funkcia rýdzo konkávna a na intervale ( ; ∞) 0 je rýdzo konvexná. Lokálne a globálne extrémy. Z vyšetrenia stacionárnych bodov vyplýva, že prvá derivácia je nulová pre x = ± 1. Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti už máme aj druhú deriváciu. Druhá derivácia v stacionárnych bodoch je: y ' '( −1) = −2 < 0 a y ' '( 1) = 2 > 0 . Preto v bode x = −1 je ostré lokálne maximum a v bode x = 1 je ostré lokálne minimum. Globálne extrémy funkcia nemá. Poznámka. Ako viem, že je ostré? Tak, že stacionárny bod je osamotený, nie je to interval stacionárnych bodov. Inflexné body. Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti vyplýva, že druhá derivácia je nulová iba v bode x = 0 : y ' '( 0) = 0 . Ale toto je bod nespojitosti, preto inflexné body funkcia nemá. Asymptoty. Asymptoty bez smernice zistíme pomocou jednostranných limít v ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ bode nespojitosti: lim x + ⎜ + ⎟=∞ a lim x − ⎜ + ⎟=−∞. Limity sú nevlastné, preto má x→0 ⎝ x ⎠ x→0 ⎝ x ⎠ funkcia asymptotu bez smernice, ktorej rovnica je x = 0 . Smernicu a kvocient pre
Lekcia 9 – Priebeh funkcií asymptoty so smernicou (rovnica y = kx + q ) zistíme pomocou limít: f( x) ⎛ 1 ⎞ k1,2 = lim = lim ⎜1+ 1 x→±∞ x 2 ⎟= x →±∞⎝ x ⎠ Rovnica tejto asymptoty je y = x . D (y) = ℜ . ⎛ 1 ⎞ q = lim f( x) − k x = lim ⎜x+ − x⎟= 0 . x→±∞ x→±∞⎝ x ⎠ , 1,2 ( 1,2 ) Záver. Na základe predošlých výsledkov je možné načrtnúť graf: Obr. 52. Graf funkcie 6 4 2 0 -6 -4 -2 0 2 4 x 6 -2 1 y = x + . x 3 Príklad 56. Vyšetri priebeh funkcie y = x − 3x . Riešenie (Obr. 53). Postupujeme podľa schémy. -4 -6 y Definičný obor. Definičný obor je všetko, čo má zmysel dosadiť za x. Teda Obor hodnôt. Je to kubická (prípadne polynomická) funkcia, preto podľa lekcie 2 je H (y) = ℜ . B = {} . N Body nespojitosti. Bod nespojitosti je tam, kde funkcia nie je definovaná. Preto Nulové body. Nájdeme ich tak, že funkciu položíme rovnú nule. Teda 3 2 x − 3x = 0 , z toho x − 3 = 0 , preto x = ± 3 . Použil som ale neekvivalentnú úpravu, preto treba oddelene overiť bod x = 0 . Dosadím ho do predpisu funkcie a mám y ( 0) = 0 , preto nulové body sú až tri: { − 3; 0; 3} . x = ± 1. 2 Stacionárne body. Prvú deriváciu položíme rovnú nule: y '= 3x − 3 = 0 , preto 101
Page 1:
Univerzita Komenského v Bratislave
Page 4 and 5:
Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 6 and 7:
Page 8 and 9:
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
Page 48 and 49:
Page 50 and 51: Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 136: Učebné texty z matematiky pre 1.
show all

B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?