B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

a.
b.
V x
= π
V x
= −π
Riešenie. Všetky výsledky sú v objemových jednotkách.
4π
Lekcia 11 – Určitý integrál
2
2
2
∫ ( sin x + cos x)
dx = π ∫ ( sin x + 2sin
x.
cos x + cos x)
dx = π ( 2sin
x.
cos x + 1)
0
2 4π
2
[ sin x + x]
= 4π
0
4π
= π
∫
=
π /
∫
0
4
( tan x )
2 / 2
∫
1
dt
t
=
2
dx =
π / 4
∫
0
[ − π ln t ]
0
tan xdx =
2 / 2
1
π / 4
∫
0
= −π
ln
sin x cos x = t
dx =
cos x − sin xdx = dt
2
2
= π ln
2
2
4 3 2
8 7 6
c. Vx = ∫ ( x + 2x
) dx = π∫
( x + 4x
+ 4x
)
2
2
cos
4π
0
cos 0
( π / 4)
= 1
=
2 / 2
9 8 7
⎡ x x 4x
⎤ 16256
π dx = π ⎢ + + ⎥ = π
9 2 7 63
0
0
⎣
⎦
Poznámka. Aj keď by sa zdalo, že objemy sa budú počítať ťažšie, nie je to tak.
Vzorec na výpočet objemu telesa je totiž oveľa jednoduchší a pozostáva iba
z integrovania druhej mocniny. Naproti tomu výpočet povrchu plášťa zahŕňa
integrovanie druhej odmocniny, čo je vo väčšine praktických prípadov ťažké, prípadne
nemožné.
2
0
=
135
dx =