B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
22
Príklad 12. Vyrieš nasledovné kvadratické rovnice:
2
a. x + 3x
= −2
2
b. − x = 1 + 2x
Riešenie.
2
c. x + x = −1
2
a. Rovnicu prepíšeme na tvar x + 3x
+ 2 = 0 a riešime pomocou diskriminantu.
Keďže sa jedná o kvadratickú rovnicu, vo všeobecnosti očakávame dve riešenia:
2
− b ± b − 4ac
− 3 ± 9 − 4.
1.
2 − 3 ± 1
− 3 + 1
x 1,
2 =
=
= . Preto x 1 = = −1
a
2a
2.
1 2
2
− 3−1
x 2 = = −2
.
2
2
b. Rovnicu prepíšeme na tvar − x − 2x
−1
= 0 , vynásobíme obe strany rovnice -1, čím
2
dostaneme x + 2x
+ 1 = 0 a riešime pomocou diskriminantu.
− b ±
x 1,
2 =
2
b − 4ac
− 2 ±
=
2a
4 − 4.
1.
1 − 2 ± 0
= . Obe riešenia sú teda rovnaké,
2.
1 2
teda je len jedno riešenie (dvojnásobný koreň): x = −1.
2
c. Rovnicu prepíšeme na tvar x + x + 1 = 0 a riešime pomocou diskriminantu.
− b ±
x 1,
2 =
2
b − 4ac
−1
±
=
2a
1 − 4.
1.
1 −1
± − 3
= . Diskriminant je záporný,
2.
1
2
pod odmocninou ale záporné číslo nemôže byť, preto rovnica nemá riešenie.
Príklad 13. Vyrieš nasledovné mocninové rovnice:
a. ( x − ) + 2 = 6
89 5
b. 2 2 14
3
− x − =
10
c. −1
= 2
0 , 33
x
Riešenie.
d.
8
x =
a. Od oboch strán rovnice odčítame 2, dostaneme tvar ( 89) 4
5 − =
5 5 x − 89 = 4 . K obom stranám pričítame 89 a výsledok je = 4 + 89
x
7
x a odmocníme:
x .