B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

5x
' 5x
⎛ ⎞ ( e ) '
j. ⎜ ⎟
k.
5x
e 5x
⎜ =
cosh x ⎟
⎝ ⎠
⎛
⎜
⎝
e
5
cotgh
cosh x − e
2
cosh x
sinh x
= e
Lekcia 8 – Derivácie elementárnych funkcií
5cosh
x − sinh x
2
cosh x
−1
' 0 ⋅ cot ghx − 5 ⋅
⎞
2
x 5
⎟ =
sinh
= 2
2
x ⎠ cot gh x cot gh x ⋅ sinh x
x
e ⎛
1 ⎞
arctan x ' = e 'arctan
x + e arctan x ' = e arctan x + = e arctan x + 2
x
x
x
x
x
l. ( ) ( ) ( ) ⎜
⎟ 2
1 + x ⎝ 1 + x ⎠
Poznámka. Keďže všetky prípady z tohto príkladu sú len súčtom, rozdielom,
súčinom alebo podielom elementárnych funkcií, a to nanajvýš dvoch, takéto príklady by
študent tiež mal zvládnuť podľa mňa aspoň na 80%.
a.
2
tan x
b. log 4 x
c.
1
tanh
x
Príklad 48. Zložené funkcie. Vypočítaj derivácie nasledovných funkcií:
Riešenie.
2
2
a. ( tan x ) ' = ( x ) ' =
2 2
2 2
cos
1
b. ( ) '=
( x ) '
c.
d.
log 4
1
x
cos
d. sin sin sin x
10
e. arcsin( x )
f.
g.
2x
x
arccos x
10
2,
5
arccotg x
1 ⎛ 1 ⎞ 1 1
x = ⎜ ⎟ = =
x ln 4 x ln 4 ⎝ 2 x ⎠ 2x
ln 4 x ln16
'
'
⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 1
⎜ tanh ⎟ = ⎜ ⎟ = −
⎝ x ⎠
2 1 x
2 2 1
cosh
⎝ ⎠
x cosh
x
x
( x) ( x)( x) ( x) ( x)( x)
= cos( sin sin x) cos( sin x) cos x
sin sin sin ' = cos sin sin sin sin ' = cos sin sin cos sin sin ' =
10 '
e. ( arcsin(
x )
=
1 −
1
10 ( x )
2
9
10 10x
( x ) ' =
20
1 − x
87