B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
72
( x ) tanα
f ' 0 = (Obr. 43 vľavo) alebo pomocou pravouhlého trojuholníka ako
dy
'( x0
) = x x (Obr. 43 vpravo).
0 dx
f =
f(x)
α
x0
Obr. 43. Derivácia ako smernica dotyčnice ku grafu funkcie.
x
Poznámka a časté chyby. Pomocou smernice sa derivácie počítajú častejšie.
Často sa ale stáva, že ľudia nevedia, kde je uhol α. Treba si uvedomiť, že ak je funkcia
rastúca, dotyčnica tiež. Ak je klesajúca, dotyčnica je tiež klesajúca. Uhol α sa vždy
meria od kladnej orientácie osi x proti smeru hodinových ručičiek. Môže teda
nadobudnúť hodnoty 0 ; 180)
v stupňoch, prípadne 0 ; π ) v radiánoch.
Poznámka. Pomer dy/dx sa dá chápať aj ako prírastok v smere osi y lomené
prírastok v smere osi x v malom okolí bodu x 0 .
Definícia pomocou rýchlosti zmeny. Tento prístup vyplýva z názorného
geometrického prístupu a využíva sa často pri vyšetrovaní fyzikálnych, chemických,
geologických alebo iných dejov. Čím je funkcia strmšia, tým je aj derivácia väčšia.
Čím je funkcia rovnobežnejšia s osou x, tým je derivácia bližšia k nule. Toto je presne
odrazom prírodných dejov. Ak sa nejaká veličina mení rýchlo, derivácia deja je veľká.
Ak sa mení pomaly, derivácia je malá. Ak sa veličina nemení, derivácia deja je nula.
Derivácia je preto rýchlosť zmeny.
f(x)
Jednostranná derivácia
Jednostranná derivácia. Ako sa ukázalo pri limitách, v bode x 0 funkcia vôbec
nemusí mať limitu. Vtedy sa ale môže stať, že v tomto bode existuje jednostranná
limita, teda limita sprava alebo limita zľava alebo obe. Ak existuje vlastná limita
dx
dy
x0
x