B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

More documents

Recommendations

Info

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie 82 Ak položíme a = 0, tak potom takýto rad nazývame ako tzv. MacLaurinov rad: f(x) ≈ f(0) + ( ) '0 f 1! x + f ′′ ( 0) 2! x 2 + f ′′′ ( 0) 3! x 3 + … . Taylorov (MacLaurinov) rad sa využíva na aproximovanie rôznych funkcií – ako elementárnych, tak aj zložitých. Postup pri vyjadrení funkcie do Taylorovho (MacLaurinovho) radu je nasledujúci: najprv vyjadríme potrebné vyššie derivácie aproximovanej funkcie, potom do nich dosadíme daný bod a a napokon ich použijeme pri dosadení do vzťahu pre Taylorov (MacLaurinov) rad. Ako príklad si uveďme MacLaurinov rad pre funkciu arctan(x): Najprv si určíme derivácie funkcie arctan(x): arctan‘(x) =1/(1+x 2 ), arctan‘‘(x) =2x/(1+x 2 ) 2 , arctan‘‘(x) =[−2(1+x 2 ) 2 +8x 2 (1+x 2 )]/(1+x 2 ) 4 . Potom dosadíme za x = 0: f(0) = 0, f‘(0) = 1, f‘‘(0) = 0, f‘‘‘(0) = −2. Potom po dosadení do vzťahu pre MacLaurinov rozvoj dostaneme: arctan(x) ≈ 0 + 1 1! 0 x + 2! x2 + 2 − 3 x + … = x − 3! 3 5 7 x x x + − …. Ďalšie členy x 5 /5 a –x 7 /7 sme “vydedukovali” z charakteru opakovania sa známych členov. V opise geologických a geofyzikálnych javov sa Taylorov (MacLaurinov) rad používa pri tzv. linearizácii problémov: z celého radu sa vezme iba jeho konštantná a lineárna časť (vyššie sa zanedbávajú) a uvedený problém sa ďalej rieši v takejto zjednodušenej forme. Tento spôsob pomáha pri riešení zložitých nelineárnych javov, netreba však zabúdať na to, že ide iba o približné riešenie. Uveďme si niekoľko príkladov MacLaurinovho radu: 3 5 7 x x x sin(x) ≈ x − + − + … , 3! 5! 7! 1 3 2 5 17 7 tan(x) ≈ x + x + x + x + … , 3 15 315 3 5 7
e x 2 3 x x x ≈ 1 + + + + … , 1! 2! 3! 2 3 4 x x x ln(1+x) ≈ x − + − + … , 2! 3! 4! Lekcia 8 – Derivácie elementárnych funkcií 83
Page 1:
Univerzita Komenského v Bratislave
Page 4 and 5:
Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 6 and 7:
Page 8 and 9:
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33: Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 132 and 133:
Page 134 and 135:
Page 136:
show all

B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?