B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

D (y)
= ℜ.
3
Obr. 53. Graf funkcie y = x − 3x
.
Príklad 57. Vyšetri priebeh funkcie
6
4
2
0
-3 -2 -1 0 1 2 x 3
-2
-4
-6
y
2
2 − x
y = x e .
Riešenie (Obr. 54). Postupujeme podľa schémy.
Lekcia 9 – Priebeh funkcií
Definičný obor. Definičný obor je všetko, čo má zmysel dosadiť za x. Teda
Obor hodnôt. Zistiť obor hodnôt pomocou inverznej funkcie tu nie je ľahké,
pretože osamostatniť x z rovnice sa nedá. Necháme si teda zistenie oboru hodnôt na
koniec.
B = {} .
N
Body nespojitosti. Bod nespojitosti je tam, kde funkcia nie je definovaná. Preto
Nulové body. Nájdeme ich tak, že funkciu položíme rovnú nule. Teda
2
2 − x
y = x e = 0 . To je len pre x = 0 , pretože
2
x
e −
je vždy kladné.
Stacionárne body. Nájdeme ich tak, že prvú deriváciu položíme rovnú nule:
2
2
− x 2 − x
− x 2
Teda y'
= 2xe
+ x e ( − 2x)
= 2xe
( 1 − x ) = 0
2
. Ak sa má súčin funkcií rovnať
− x
nule, musí sa alebo rovnať nule prvý člen alebo druhý člen. Prvý člen 2xe
= 0 pre
2
x = 0 a druhý člen 1 − x = 0 pre x = ± 1.
Stacionárne body sú teda { − 1;
0;
1}
.
Intervaly monotónnosti. Stacionárne body rozdelili záujmovú oblasť na štyri
intervaly: ( − ∞;−1)
, ( − 1;
0)
, ( 0 ; 1)
, ( ; ∞)
1 . Intervaly rastu a klesania zistíme tak, že
dosadíme akékoľvek číslo z jednotlivých intervalov a zistíme, či je v nich prvá derivácia
kladná alebo záporná. Zvolíme, napríklad, hodnoty { 2; −0,
5;
0,
5;
2}
− . Dosadíme a máme
y ' ( −2)
≅ 0.219788 > 0 , y ' ( −0,
5)
≅ -0.584100587
< 0 , y ' ( 0,
5)
≅ 0.584100587
< 0 ,
2
103