B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
arccos x arccos x
f. ( 10 ) '=
10 ln10.
( arccos x)
'
88
arccotg
'
arccos x
−10
ln10
=
2
1 − x
− 2,
5x
1,
5
2,
5
2,
5
g. ( x ) = ( x ) =
2 2,
5
2 2,
5
sinh
− 1
x
'
sinh
x
Poznámka. Zložená funkcia sa vo všeobecnosti berie ako dosť zložitá vec. Ak je
funkcia zložená z viac ako dvoch funkcií, výpočet derivácie je dosť neprehľadný.
Študent by takéto príklady mal podľa mňa zvládnuť aspoň na polovicu.
a.
b.
x
x
x
x sin
x
c. cos x
Príklad 49. Neštandardné funkcie. Vypočítaj derivácie nasledovných funkcií:
Riešenie.
d.
x
x ln
ln
ln x
e. ln x
x
( ) = x ( ln + 1)
x
x ln x x ln x x ln x
x
a. ( x ) ' ( e ) ' = ( e ) ' = e ( x ln x)
' = x x'ln
x + x(
ln x)
'
b.
c.
= x
sin x sin xlnx sin xlnx sin x
( x ) ' ( e ) ' e ( sin xlnx) ' x ( ( sin x') ln x sin x( ln x)
')
= = = + =
sin x ⎛ sin x ⎞
= x ⎜cos xlnx+ ⎟
⎝ x ⎠
x
cos x '= xln cos x
e
xln cos x
'= e xlncosx x
'= cos x lncosx+ x lncosx ' =
( ) ( ) ( ) ( ( ) )
( )
x
= cos x ln cos x − xtan x
ln x ln x.lnln x ln x.lnln x ln x
( ln x) ' ( e ) ' e ( ln x.lnlnx) ' ln x( ( ln x) 'ln ln x ln x( ln ln x)
')
= = = + =
ln x
ln x ⎛ln ln x 1 ⎞ ln x
ln x ln ln x 1
( )
= ⎜ + ⎟ = +
⎝ x x⎠ x
d. ( x ) ( x x)
( x)
x(
x)
x ln
2
ln '=
ln . ln '=
ln '=
2 ln ln '
2 ln x
=
x