B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
18
ax
Exponenciálne rovnice. Sú to rovnice typu f ( x)
= M + b ,
+
M ∈ℜ
, ≠ 0
a .
Treba teda riešiť rovnicu M + b = 0
ax
. Rovnicu riešime najčastejšie pomocou
logaritmovania:
1. Od obidvoch strán odčítame b a dostaneme: M b
ax
= − .
2. Zlogaritmujeme obe strany rovnice. Zvolíme logaritmus pri základe M. Dostaneme:
ax
M M = log M
( − b)
log . Exponent sa teraz dá zapísať pred logaritmus:
ax log M M = log M ( − b)
. Keďže log M M = 1,
dostaneme ax = log M ( − b)
.
3. Obe strany predelíme a a dostaneme: x M ( b)
a
−
1
= log .
Poznámka. Z predpisu vidno, že riešenie môže byť jedno (keď je b záporné), ale
riešenie nemusí existovať vôbec (keď je b kladné).
Logaritmické rovnice. Sú to rovnice typu f ( x)
= log M ( ax)
+ b ,
+
M ∈ℜ
,
a ≠ 0 . Treba teda riešiť rovnicu log ( ax)
+ b = 0 . Keďže sme exponenciálnu rovnicu
M
riešili pomocou logaritmovania, rovnicu logaritmickú riešime pomocou exponenciálnej
operácie:
1. Od obidvoch strán odčítame b a dostaneme: log ( ax)
= −b
.
2. Na obe strany rovnice aplikujeme exponencovanie. Zvolíme základ M:
( ) b
log M ax −
M = M
. Pri takto vhodne zvolenom základe nám ostane
3. Obe strany predelíme a a dostaneme:
x = M
a
1
−b
M
.
ax
−b
= M .
Poznámka. Logaritmus záporných čísel a nuly nie je definovaný. Preto túto
rovnicu budeme riešiť iba za istých okolností: v prípade, že a je kladné, riešenie
hľadáme pre kladné x, v prípade, že a je záporné, riešenie hľadáme pre záporné x.
Goniometrické rovnice. Sú to rovnice typu f ( x)
= sin(
ax)
+ b ,
( ax)
b
f ( x)
= cos + , f ( x)
= tg(
ax)
+ b , f ( x)
= cotg(
ax)
+ b . Všetky sa riešia podobným
postupom, preto riešenie ukážeme na príklade sin ( ) + b = 0
že táto funkcia je periodická. Postup riešenia je nasledovný:
1. Od obidvoch strán odčítame b a dostaneme: sin ( ax) = −b
.
ax . Najväčší problém je to,
2. Aplikujeme inverznú funkciu, teda arkussínus a dostaneme: ax ( − b)
= arcsin .