B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie
y ' ( 2)
≅ −0.219788
< 0 . Preto na intervale ( − ∞;−1)
je funkcia rastúca, na intervale
( − 1;
0)
klesajúca, na intervale ( 0 ; 1)
rastúca a na intervale ( ; ∞)
104
1 klesajúca.
Intervaly konvexnosti a konkávnosti. Vypočítame druhú deriváciu:
2
−
4 2 ( )
x
y'' = 2e 2x − 5x + 1 . Prvý člen
2
2 x
e −
je vždy kladný, teda len od rovnice štvrtého
stupňa v zátvorke závisí, či je rovnica kladná alebo záporná. Riešime substitúciou:
2
x = t
. Preto 2 5 1 0
2
t − t + = , z čoho vyplýva, že
5 ± 17
t 1;
2 = . Preto
4
x 1;
2;
3;
4 = t1;
2 = ±
5 ± 17
. Toto sú štyri približné hodnoty nulových bodov druhej
4
− 1.510223959;-0.468213192;0.468213192;1.510223959
. Tieto body
derivácie: { }
rozdelili záujmovú oblasť na päť intervalov: ( ∞;−1.510223959)
− ,
( − 1.510223959;-0.468213192)
, ( 0.468213192;0.468213192)
( 0.46821319 2;1.510223959)
, ( 9; ∞)
- ,
1.51022395 . Intervaly konvexnosti a konkávnosti
zistíme tak, že dosadíme akékoľvek číslo z jednotlivých intervalov a zistíme, či je
v nich druhá derivácia kladná alebo záporná. Zvolíme, napríklad, hodnoty
{ 2; −1;
0;
1;
2}
− . Dosadíme a máme y ''( −2) ≅ 0.476206611 > 0 ,
y ''( −1) ≅− 1.471517765 < 0 , y ''(0) = 2 > 0 , y ''(1) ≅ − 1.471517765 < 0 ,
y ''(2) ≅ 0.476206611 > 0 . Preto na intervale ( − ∞;−1.510223959)
je funkcia rýdzo
konvexná, na intervale ( 1.510223959;-0.468213192)
intervale ( 0.468213192;0.468213192)
− je funkcia rýdzo konkávna, na
- je funkcia rýdzo konvexná, na intervale,
( 2;1.510223959)
0.46821319 je funkcia rýdzo konkávna a na intervale
( 9; ∞)
1.51022395 je funkcia rýdzo konvexná.
Lokálne a globálne extrémy. Z vyšetrenia stacionárnych bodov vyplýva, že prvá
derivácia je nulová pre hodnoty { 1;
0;
1}
− . Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti už
máme aj druhú deriváciu. Druhá derivácia v stacionárnych bodoch je:
y ''( −1) ≅− 1.471517765 < 0 , y ''(0) = 2 > 0 a y ''(1) ≅ − 1.471517765 < 0 . Preto v bode
x = −1
je ostré lokálne maximum, v bode x = 0 je ostré lokálne minimum a v bode
x = 1 je ostré lokálne maximum. V bode x = −1
a x = 1 sú dokonca ostré globálne
maximá. Že sú globálne, vieme z toho, že na obe strany od týchto bodov funkcia klesá
a už nikde nerastie.