B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

More documents

Recommendations

Info

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie Poznámka. Tento príklad považujem za ťažší, pretože sa neobvykle zisťoval obor hodnôt, hodnoty, v ktorých sú derivácie nulové, nie sú „pekné“ čísla a bolo treba riešiť rovnicu štvrtého stupňa. 106 Príklad 58. Vyšetri priebeh funkcií y = sin x a y = cos x . Riešenie (Obr. 55). Postupujeme podľa schémy. 1 Úvod. Preto je zaujímavé riešiť obe funkcie naraz, pretože sú veľmi podobné. Definičný obor. D y ) = ℜ , D y ) = ℜ . ( 1 ( 2 Obor hodnôt. H y ) = −1; 1 , H y ) = −1; 1 . ( 1 ( 2 Body nespojitosti. Bod nespojitosti je tam, kde funkcia nie je definovaná. Preto B = {} pre obe funkcie. N Nulové body. Nájdeme ich tak, že funkciu položíme rovnú nule. Teda ⎛ 1 ⎞ y 1 = sin x = 0 , preto x = kπ , k ∈ Z . Podobne y 2 = cos x = 0 , preto x = ⎜k + ⎟π , ⎝ 2 ⎠ k ∈ Z . Jasne teda vidno, že nulové body týchto dvoch funkcií sa pravidelne striedajú. Stacionárne body. Nájdeme ich tak, že prvú deriváciu položíme rovnú nule: ⎛ 1 ⎞ y 1 , preto x = ⎜k + ⎟π , k ∈ Z . Podobne ⎝ 2 ⎠ Teda ' = ( sin x) ' = cos x = 0 ( cos x) ' = − sin = 0 y ' = x , preto x = kπ , k ∈ Z . Je zaujímavé, že nulové body jednej 2 funkcie sú akurát stacionárne body druhej funkcie. Intervaly monotónnosti. Stacionárne body rozdelili záujmové oblasti oboch funkcií na nekonečne veľa intervalov. Pre funkciu y 1 sa dajú zapísať takto: ⎛⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎜⎜ k − ⎟π ; ⎜k + ⎟π ⎟ , Z ⎝⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎠ k ∈ . Pre funkciu 2 2 y sa dajú zapísať takto: ( k π; ( k + 1) π ) , k ∈ Z . Intervaly rastu a klesania zistíme tak, že dosadíme akékoľvek číslo z jednotlivých intervalov a zistíme, či je v nich prvá derivácia kladná alebo záporná. Priam sa ponúka dosadiť do derivácie akurát nulové body. Dosadíme a máme ( ) ( ) ( ) k k = cos kπ = − y ' π 1 . Teda na intervaloch pre párne k funkcia sin x rastie a na 1 ⎛ π π ⎞ intervaloch pre nepárne k klesá. Intervaly rastu sú ⎜( 4k −1) ; ( 4k + 1) ⎟ a intervaly ⎝ 2 2 ⎠
klesania sú ⎜( + ) ( k + ) ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ Lekcia 9 – Priebeh funkcií ⎛ π π ⎞ 4k 1 ; 4 3 . Pre druhú funkciu ( ) k ⎛⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛⎛ 1 ⎞ ⎞ y2 '⎜⎜ k + ⎟π ⎟ = −sin⎜⎜ k + ⎟π ⎟ = −1 . Teda na intervaloch pre párne k funkcia ⎝⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎝⎝ 2 ⎠ ⎠ cos x klesá a na intervaloch pre nepárne k rastie. Intervaly rastu sú ( ( 2k − 1) π; 2kπ ) a intervaly klesania sú ( 2 π; ( 2k + 1) π ) k . Z hraničných bodov intervalov vidno, že sa pre obe funkcie spolovice prekrývajú. Čiže interval, kde jedna funkcia rastie, sa z pohľadu druhej funkcie delí na dve polovice. Na jednej polovici rastie, na druhej klesá. Intervaly konvexnosti a konkávnosti. Vypočítame druhú deriváciu: y1' ' = ( sin x) '' = − sin x . Táto funkcia je kladná na intervaloch ( ( k 1) π; 2kπ ) na nich rýdzo konvexná. Záporná je na intervaloch ( 2 π; ( 2k + 1) π ) 2 − , preto je k , preto je na nich rýdzo konkávna. Pre druhú funkciu je to nasledovne: y '' = ( cos x) '' = − cos x . Táto funkcia je kladná na intervaloch ⎜( + ) ( k + ) ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ 2 ⎛ π π ⎞ 4k 1 ; 4 3 , preto je na nich rýdzo konvexná. Záporná je na intervaloch ⎜( − ) ( k + ) ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ konkávna. ⎛ π π ⎞ 4k 1 ; 4 1 , preto je na nich rýdzo Lokálne a globálne extrémy. Z vyšetrenia stacionárnych bodov vyplýva, že prvá ⎛ 1 ⎞ derivácia je nulová pre hodnoty x = ⎜k + ⎟π pre funkciu y1 = sin x . Pre funkciu ⎝ 2 ⎠ y2 = cos x sú stacionárne body π k x = . Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti už máme aj druhú deriváciu. Druhá derivácia v stacionárnych bodoch je ⎛⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛⎛ 1 ⎞ ⎞ k + 1 k + 1 y1' '⎜ ⎜k + ⎟π ⎟ = − sin⎜⎜ k + ⎟π ⎟ = ( −1) a y2 '' ( kπ ) = − cos( kπ ) = ( −1) . ⎝⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎝⎝ 2 ⎠ ⎠ V stacionárnych bodoch oboch funkcií sa teda striedajú maximá a minimá. Hodnota oboch funkcií vo všetkých stacionárnych bodoch je 1, preto sú to všetko globálne minimá a globálne maximá. Inflexné body. Z vyšetrenia konvexnosti a konkávnosti vyplýva, že druhá derivácia je nulová presne v nulových bodoch. Toto platí pre obe funkcie. Preto inflexné body funkcie y = sin x sú v bodoch π k x = a inflexné body funkcie y = cos x sú ⎛ 1 ⎞ v bodoch x = ⎜k + ⎟π . ⎝ 2 ⎠ 1 2 107
Page 1:
Univerzita Komenského v Bratislave
Page 4 and 5:
Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 6 and 7:
Page 8 and 9:
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
Page 48 and 49:
Page 50 and 51:
Page 52 and 53:
Page 54 and 55:
Page 56 and 57: Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 136: Učebné texty z matematiky pre 1.
show all

B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?