B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského
B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského
B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie<br />
Poznámka. Integrovanie metódou per partes je potrebné nacvičiť. Len málokto<br />
je schopný na základe prednášky pochopiť princíp a vedieť integrovať bez toho, aby<br />
prepočítal niekoľko príkladov. Často sa stáva, že človek nesprávne zvolí funkcie<br />
u a v a vznikne integrál, ktorý ani tak nevie riešiť. Vtedy je dobré skúsiť funkcie<br />
u a v vymeniť. Ak ani toto nepomôže, obvykle treba skúsiť inú metódu.<br />
120<br />
Integrovanie substitučnou metódou<br />
Veta. Nech F (x)<br />
je neurčitý integrál funkcie f (x)<br />
na intervale ( a; b)<br />
. Nech<br />
funkcia ϕ (t)<br />
má na intervale ( β )<br />
Potom x)<br />
c = f ( x)<br />
dx = f ( ( t)<br />
)<br />
∫ ∫<br />
α; deriváciu '( t)<br />
F ( + ϕ ϕ'<br />
( t)<br />
dt .<br />
ϕ . Nech ϕ ( t ) ∈(<br />
a;<br />
b)<br />
pre ∈(<br />
α; β )<br />
∀t .<br />
Poznámka. Táto veta sa pri integrovaní používa asi najviac, preto je potrebné,<br />
aby si ju každý osvojil. Funguje nasledovne: Vidím integrál, ktorý neviem vypočítať.<br />
Skúsim teda z funkcie vybrať takú časť, ktorú viem zderivovať (to je tá ľahšia časť).<br />
Treba však vybrať tak, aby sa integrál zjednodušil (to je tá ťažšia časť). V praxi sa<br />
postupuje tak, že zvolíme substitúciu, vypočítame, na akú funkciu prejde f (x)<br />
, na akú<br />
prejde dx a dosadíme.<br />
Poznámka. Veta o integrovaní substitučnou metódou je odvodená z vety<br />
o derivovaní zloženej funkcie.<br />
Príklad. Zintegruj funkciu f ( x)<br />
= tan x .<br />
Riešenie. Nie je to tabuľkový integrál, preto použijem substitučnú metódu. Vo<br />
funkcii tan x treba nájsť takú funkciu, ktorú vieme zderivovať. Vieme, že<br />
sin x<br />
tan x = . Zderivovať vieme aj čitateľa, aj menovateľa. Zvolíme menovateľa.<br />
cos x<br />
Substitúcia je teda cos x = t . Ešte treba vypočítať, na čo sa zmení dx . Zderivujeme obe<br />
dt<br />
strany substitúcie a máme ( cos x ) ' = − sin xdx = dt . Z toho dx = − . Dosadíme<br />
sin x<br />
substitúciu aj deriváciu do zadania a vznikne<br />
sin x sin x ⎛ − dt ⎞ dt<br />
∫tan xdx = ∫ dx = ∫ ⎜ ⎟ = −∫<br />
= − ln t + c . Do výsledku treba ešte<br />
cos x t ⎝ sin x ⎠ t<br />
dosadiť naspäť substitúciu, aby bol výsledok v tej premennej, v ktorej bolo zadanie:<br />
− ln t + c = − ln cos x + c .
Change language