B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

More documents

Recommendations

Info

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie 126 Lekcia 11 – Určitý integrál Nové pojmy a. Určitý integrál, Newtonov – Leibnitzov vzorec, integrál párnej a nepárnej funkcie b. Obsah plochy, dĺžka krivky, plášť a objem rotačného telesa c. Stredná hodnota určitého integrálu Určitý integrál Určitý integrál. Určitý integrál je rozdiel hodnôt primitívnych funkcií s hornou b a dolnou hranicou. Označuje sa ∫ a f ( x) dx , kde a je dolná hranica a b je horná hranica. Newtonov – Leibnitzov vzorec. f ( x) dx = F( b) − F( a) . b ∫ a Poznámka. Tento vzorec je najdôležitejšia vec celej lekcie. Využíva sa na vyčíslenie integrálu, na získanie nie primitívnej funkcie, ale na zistenie hodnoty. Funguje tak, že ak chcem vyčísliť určitý integrál, stačí zistiť neurčitý integrál (primitívnu funkciu), dosadiť do neho hornú a dolnú hranicu a odčítať ich. Tento vzorec je tak dôležitý, že by ho mal každý vedieť aj o polnoci. Poznámka. Ak sa počíta neurčitý integrál, vzniká nekonečne veľa primitívnych funkcií, ktoré sa od seba líšia konštantou. Ale ak sa počíta určitý integrál, žiadna konštanta nevzniká. Vlastne pri vyčíslení hornej hranice vznikne jedna konštanta a pri vyčíslení dolnej hranice druhá konštanta. Tieto konštanty sú rovnaké, odčítajú sa a ostane iba rozdiel primitívnych funkcií. 3 2 2 2 ⎡ x ⎤ 3 1 Príklad. ∫ xdx = ⎢ ⎥ = − = 4 . 1 ⎣ 2 ⎦ 2 2 π / 2 ∫ 3 1 π / 2 0 Príklad. cos xdx = [ sin x] = sin( π / 2) − sin 0 = 1 0
Veta. ∫ f ( x) dx = −∫ f ( x) dx . a a b Lekcia 11 – Určitý integrál Poznámka. Veta hovorí, že je jedno, či odčítam hornú hranicu od dolnej alebo naopak, len zmením znamienko. a ∫ a Veta. f ( x) dx = 0 . Poznámka. Veta hovorí, že ak integrujem od nejakej hodnoty po tú istú hodnotu, hodnota je nula. 2 6 6 6 5 ⎡ x ⎤ 2 2 Príklad. ∫ x dx = ⎢ ⎥ = − = 0 . 6 6 6 2 ⎣ ⎦ 2 2 c Veta. Ak a < b < c , tak ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx . a b a Poznámka. Veta hovorí, že integrovanie v nejakých hraniciach sa dá rozdeliť na niekoľko určitých integrálov. Dôležité je, aby hranice na seba nadväzovali. Veta sa využíva hlavne vtedy, keď sa počíta viac určitých integrálov a náhodou ak rozdelím jeden na dva, časť sa mi s nejakým iným členom vyruší. Príklad. π/2 π/4 π/2 ∫ sin xdx = ∫ sin xdx + ∫ sin xdx = −cos( π / 4) + cos0 −cos( π / 2) + cos( π / 4) = 1. 0 0 π /4 a ∫ −a Určitý integrál párnej funkcie (Obr. 59). Ak funkcia f (x) je párna, potom f ( x) dx = 2 f ( x) dx . a ∫ 0 Poznámka. Na funkciu, ktorá je symetrická podľa osi y, ktorú integrujeme na symetrickom intervale, sa môžeme dívať ako na dvojnásobok tej časti, ktorá je napravo od nuly. Určitý integrál nepárnej funkcie (Obr. 59). Ak funkcia f (x) je nepárna, a ∫ potom f ( x) dx = 0 . −a c b 127
Page 1:
Univerzita Komenského v Bratislave
Page 4 and 5:
Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 6 and 7:
Page 8 and 9:
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
Page 48 and 49:
Page 50 and 51:
Page 52 and 53:
Page 54 and 55:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
Page 72 and 73:
Page 74 and 75:
Page 76 and 77: Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 136: Učebné texty z matematiky pre 1.
show all

B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?