B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Lekcia 8 – Derivácie elementárnych funkcií
Poznámka. Niekedy sa stane, že aj po použití L’Hospitalovho pravidla ostane
0 ∞ 0 ∞
limita typu , , alebo . Netreba sa zľaknúť, L’Hospitalovo pravidlo je možné
0 0 ∞ ∞
za sebou použiť aj viackrát (len musia byť stále splnené podmienky na jeho použitie).
Poznámka. L’Hospitalovo pravidlo platí aj vtedy, ak mi v čitateli aj
v menovateli vzniká − ∞ .
Taylorov rad
Taylorov rad. Vyššie derivácie funkcie f(x) je možné využiť pri jej aproximácii
v okolí určitého bodu a pomocou radu polynómov (mocnín premennej x). Takýto rad sa
nazýva ako tzv. Taylorov rad:
f(x) ≈ f(a) +
( )
' f a
(x – a) +
1!
f ′′ ( a ) 2
(x – a) +
2!
f ′′′ ( a ) 3
(x – a) + … ,
3!
kde f(a) je funkčná hodnota funkcie f(x) v bode x = a; f‘(a), f‘‘(a), f‘‘‘(a), … sú prvá,
druhá, tretia, … derivácia funkcie f(x) v bode x = a; (x – a), (x – a) 2 , (x – a) 3 , ... sú
mocniny výrazu (x – a). Rad má nekonečne veľa členov, vo väčšine prípadov sa však
aproximácia obmedzuje na niekoľko prvých členov. Dá sa dokázať, že aproximácia
funkcie pomocou Taylorovho radu je najpresnejšia možná.
Pomocou Taylorovho radu môžeme opísať (aproximovať) funkciu f(x) v okolí
bodu a – k funkčnej hodnote f(a), čo je vlastne konštanta, postupne pridávame priamku
(lineárnu funkciu), opísanú členom [f‘(a)/(1!)](x – a), ďalej parabolu (kvadratická
funkcia), opísanú členom [f‘‘(a)/(2!)] (x – a) 2 , atď. Vyššie členy radu v sebe zahrňujú
vyššie polynómy, ktoré sa svojou členitosťou približujú k nepravidelnému tvaru
aproximovanej funkcie, ako to je viditeľné aj na Obr. 45.
Obr. 45. Aproximácia funkcie f(x) pomocou Taylorovho radu. Postupným pridávaním členov radu
sa aproximácia (prerušovaná čiara) stále viac a viac približuje v okolí bodu a ku skutočnému
priebehu krivky f(x) (plná čiara).
81