B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Príklad.
∫
5x
dx
2
2x 3 →
+
Lekcia 10 – Neurčitý integrál
keby v čitateli bolo namiesto 5x len 4x, tak by to bol výraz
v tvare predchádzajúcej vety. Keďže to tak ale nie je, tak si tú potrebnú štvorku
„vyrobíme“:
5x 5 4x 5
2x + 3 4 2x + 3 4
∫ ∫
2
dx = dx = ln 2x + 3 + c
2 2
Integrovanie metódou per partes
Veta. ∫ ( x)
g(
x)
dx f ( x)
g(
x)
− ∫
f ' = f ( x)
g'
( x)
dx .
Poznámka. Na prvý pohľad by sa mohlo zdať, že máme vzorec na integrovanie
súčinu funkcií. Je to ale zložitejšie, pretože aj na pravej strane sa vyskytuje
integrovanie. Vzorec sa používa veľmi často, ale aj tak iba vtedy, ak je jednoduchší
∫
f ( x)
g'
( x)
dx ako ∫ f ' ( x)
g(
x)
dx . Integrovanie sa vlastne presunulo z jedného súčinu
funkcií na iný súčin funkcií.
Poznámka. Je dobré si uvedomiť, že ak chceme použiť metódu per partes na
súčin funkcií, jednu z nich musíme vedieť integrovať a jednu z nich derivovať.
Poznámka. Veta o integrovaní metódou per partes je odvodená z vety
o derivovaní súčinu funkcií.
Príklad. Zintegruj funkciu y = x ln x .
Riešenie. Funkcia nie je elementárna, ale je to súčin elementárnych funkcií.
Postupovať preto skúsime metódou per partes. Jedna funkcia je x a druhá je ln x . Jednu
treba integrovať, jednu derivovať a dosadiť do vzorca. Funkciu ln x podľa tabuliek
integrovať nevieme, preto túto zderivujeme a funkciu x zintegrujeme. Keďže v praxi pri
počítaní príkladov metódou per partes sa zvyknú prechodne funkcie f (x)
a g (x)
označovať f ( x)
= u a g ( x)
= v , použijem tento zápis:
u'
= x v = ln x 2
2
2
2
2
2
x
x 1 x x x ⎛ 1 ⎞
∫ x ln xdx = x 1 = ln x + c − dx = x − + c = x + c
u v
⎜ −
= =
∫
ln
ln
'
⎟
2
2 x 2 4 2
x
⎝ 2
2
⎠
.
119