B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

More documents

Recommendations

Info

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie 132 Príklady Príklad 65. Vypočítajte obsah plochy pod grafom funkcie f (x) na zadanom intervale a; b . a. sin x , 0; π / 4 b. x + sin x , 2 ; 4 c. sin x + cos x , 0 ; π d. 4 x , 0 ; 1, 5 3 e. sin x. cos x , 0 ; π f. ln x , 2 ; 6 Riešenie. Všetky výsledky sú v štvorcových jednotkách. a. Funkcia y = sin x je na intervale 0; π / 4 kladná, preto stačí jeden integrál. π / 4 π / 4 2 S = ∫ sin xdx = [ − cos x] 0 = − cos( π / 4) + cos 0 = 1 − . 2 0 b. Funkcia y = x + sin x je na intervale 2 ; 4 kladná, preto stačí jeden integrál. 4 S = ∫ 2 2 ⎡ x ⎢ ⎣ 2 ⎤ ⎥ ⎦ 4 ( x + sin x) dx = − cos x = 8 − cos 4 − 2 + cos 2 = 6 − cos 4 + cos 2 c. Funkcia y sin x + cos x 2 = má nulové body pre = ( k + 3 / 4) x π . Na intervale 0 ; π prechádza funkcia jedným takým bodom x = 3π / 4. Integrujeme na dvakrát. π/2 π /2 ∫ ( ) ∫ ( ) [ ] [ ] 0 π /2 π π 0 π /2 S = sin x + cos x dx + sin x + cos x dx = − cos x + sin x + − cos x + sin x = ( ) ( ) ( ) ( ) =−cos π / 2 + sin π / 2 + cos 0 − sin 0 +−cos π+ sin π+ cos π/ 2 −sin π / 2 = 2 d. Funkcia 4 y = x neprechádza osou x, preto stačí jeden integrál. 1, 5 1, 5 5 5 4 ⎡ x ⎤ 1, 5 S = ∫ x dx = ⎢ ⎥ = = 1.51875. 5 5 0 ⎣ ⎦ 0
Lekcia 11 – Určitý integrál 3 e. Funkcia y = sin x. cos x má nulové body pre x = kπ / 2 . Na intervale 0 ; π prechádza funkcia jedným takým bodom x = π / 2 . Integrujeme na dvakrát. S = = − π / 2 0 ∫ 1 ∫ 0 t sin x. cos 3 dt + − 3 −1 3 ∫ 0 xdx + π ∫ π / 2 sin x. cos 0 4 ⎡t ⎤ t dt = ⎢ ⎥ ⎣ 4 ⎦ 1 3 4 ⎡t ⎤ + ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ cos x = t xdx = − sin xdx = dt −1 0 = 0 − 1 4 + − 1 4 = 1 2 cos cos 0 = 1 ( π / 2) cosπ = −1 = 0 = f. Funkcia y = ln x nemá nulové body na intervale 2 ; 6 , preto stačí jeden integrál. 6 ⎡1 ⎤ S = ∫ ln xdx = ⎢ ⎥ ⎣ x⎦ 2 6 2 = 1 6 − 1 2 = − 2 6 = 1 3 Príklad 66. Vypočítajte dĺžku krivky f (x) na zadanom intervale a; b . a. cosh x , 1 ; 20 b. a. 2 x , −10; 10 Riešenie. Všetky výsledky sú v dĺžkových jednotkách. 20 20 20 20 20 2 2 [ ] 2 ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ l = 1+ cosh x ' dx = 1+ sinh x dx = cosh x dx = cosh x dx = cosh xdx = 1 1 1 1 1 20 1 = sinh x = sinh 20 −sinh1 Poznámka. Absolútna hodnota nebola potrebná, pretože funkcia sinh x je na intervale 1 ; 20 kladná a platí: b. l = = − 10 ∫ −10 1 + 401−20 ∫ 401+ 20 2 ( x ) ' 2 ⎛ 1 − t ⎜ ⎜2 ⎝ 4t dx = 2 10 ∫ −10 2 2 cosh x − sinh x = 1 1 + 4x 2 ⎞ t + 1 + t ⎟ dt = − 2 ⎠ 4t 2 dx = 1 + 4x Dh = 401−20 ∫ 401+ 20 t 4 2 401 + 20 + 2t 3 8t = 2x + t 2 2 1 − t x = 4t Hh = 401 − 20 2 + 1 1 ⎡t 1 ⎤ dt = ⎢ + 2 ln t − 2 ⎥ 8 ⎣ 2 2t ⎦ 2 t + 1 dx = − dt 2 4t = 401+ 20 401−20 Poznámka. Tento príklad považujem za ťažší, pretože sa použila neobvyklá substitúcia a nevychádzali „pekné“ čísla. Bohužiaľ v praxi sú častejšie práve takého príklady. 133 ≅ 202.09
Page 1:
Univerzita Komenského v Bratislave
Page 4 and 5:
Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 6 and 7:
Page 8 and 9:
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
Page 48 and 49:
Page 50 and 51:
Page 52 and 53:
Page 54 and 55:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
Page 72 and 73:
Page 74 and 75:
Page 76 and 77:
Page 78 and 79:
Page 80 and 81:
Page 82 and 83: Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 136: Učebné texty z matematiky pre 1.
show all

B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?