B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Lekcia 7 – Derivácie
Nové pojmy
a. Definícia derivácie pomocou limity, smernice a rýchlosti zmeny
b. Jednostranná derivácia, derivácia zľava a sprava
Definície derivácie
Lekcia 7 – Derivácie
Úvod. V predošlej kapitole sa prebrala limita. Nie veľa študentov rýchlo
pochopí, čo je to vlastne limita. Našťastie to nevadí, pretože v geologických vedách sa
limity používajú zriedkavejšie. V matematike po pojme limita obvykle nasleduje pojem
derivácie. Derivácie sú však objekty, ktoré sa aj v geologických disciplínach používajú
častejšie, ako sa na prvý pohľad zdá. Preto je viac ako potrebné, aby každý aspoň trochu
pochopil, čo je to derivácia, ako sa definuje, ako funguje a ako sa počíta. V zásade
existujú tri prístupy k vysvetleniu derivácie. Prvý a najťažší prístup je cez limity, potom
geometrický prístup cez smernice a fyzikálny cez rýchlosť zmeny. Kvôli veľkej
dôležitosti nasleduje vysvetlenie všetkých troch prístupov.
Definícia pomocou limity. Nech funkcia f (x)
je definovaná v istom okolí
bodu x 0 . Nech existuje vlastná limita
funkcie f (x)
v bode 0
x . Označuje sa '( x )
f ( x)
− f
lim
x→ x0
x − x
( x )
f 0 , ( x)
x 0
0
0
f ' = x ,
. Táto limita sa volá derivácia
df ( x0
)
,
dx
( x)
df
dx
Poznámka. Počítanie derivácií pomocou limity je náročné a zdĺhavé, ale je to
veľmi silný nástroj. Vieme však, že počítanie limít robí priemernému študentovi
problémy. Preto sa derivácie obvykle (mimo matematikov alebo fyzikov) počítajú iným
spôsobom.
Definícia pomocou smernice. Derivácia ako smernica dotyčnice ku grafu je
veľmi názorná definícia. Nech f (x)
je funkcia a x 0 je bod, v ktorom chceme vypočítať
deriváciu. V bode x 0 nakreslíme ku grafu dotyčnicu. Derivácia funkcie f (x)
v bode
x 0 je potom smernica tejto dotyčnice. Matematicky sa toto dá zapísať ako
x=
x0
.
71