B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

More documents

Recommendations

Info

Učebné texty z matematiky pre 1. ročník geológie 94 f(x) y x f(x) y x Obr. 47. Zľava: Rýdzo konvexná, rýdzo konkávna, konvexná a konkávna funkcia. f(x) Lokálne minimum (maximum) (Obr. 48). V bode x 0 má funkcia f (x) lokálne minimum (maximum), ak existuje také okolie bodu x 0 , že pre všetky body z tohto okolia platí, že ( x) f ( x ) minimum (maximum) sa volá ostré. 0 y f ≥ ( f ( x) ≤ f ( x ) ). Ak platí ostrá nerovnosť, Lokálne extrémy (Obr. 48). Lokálne minimum a lokálne maximum sa spoločne volajú lokálne extrémy. Globálne extrémy (Obr. 48). Najmenšia hodnota funkcie na celom definičnom obore sa volá globálne minimum. Najväčšia hodnota funkcie na celom definičnom obore sa volá globálne maximum. Globálne minimum a globálne maximum sa spoločne volajú globálne extrémy. f(x) y x1 x2 x3 x4 Obr. 48. Extrémy funkcie. x1 – ostré lokálne minimum, x2 – ostré lokálne maximum, všetky body z intervalu 3 ; x4 x sú lokálne minimá, ale nie ostré, x5 – ostré globálne maximum, x5 – ostré globálne minimum. Stacionárny bod (Obr. 49). Bod, v ktorom f '= 0 , sa volá stacionárny bod. f( x ) y x 1 x2 x3 x 3; x4 sú tiež stacionárne body, ale body x3, x4 nie, pretože sú to body „zlomu“. x2, x5 nie sú stacionárne, pretože sú to tiež body „zlomu“ (dotyčnica ku grafu v nich nie je jednoznačná). Obr. 49. Stacionárne body. x1, x6 – stacionárne body. Body intervalu ( ) x4 x5 0 x6 x5 x x6 x f(x) y x x
Lekcia 9 – Priebeh funkcií Veta. Nech funkcia f (x) má v bode x 0 deriváciu a nech má v tomto bode extrém. Potom platí, že '( x0 ) = 0 f . Poznámka. Táto veta je iba nutná podmienka na to, aby bol v nejakom bode extrém. Ale nie je to postačujúca podmienka, preto sa veta nedá obrátiť. Z toho vyplýva, že v každom extréme, v ktorom existuje derivácia, je derivácia nulová. Ale „nanešťastie“ neplatí, že by všade, kde nájdeme nulovú deriváciu, bol extrém. Veta. Nech funkcia f (x) má v bode 0 v tomto bode existuje druhá derivácia. Potom: Ak '' ( x0 ) > 0 f , tak je v bode 0 Ak '' ( x0 ) < 0 f , tak je v bode 0 x prvú deriváciu f '( x0 ) = 0 a nech x ostré lokálne minimum. x ostré lokálne maximum. Poznámka a časté chyby. Prípad ( x ) = f '' ( x ) = 0 ' 0 0 f tu nie je. V takomto prípade sa o extréme nedá rozhodnúť iba na základe prvej a druhej derivácie, ale treba počítať derivácie vyššie. Chyby sa najčastejšie vyskytujú preto, pretože sa funkcia nesprávne zderivuje, pretože sa často stáva, že druhá alebo tretia derivácia sú dosť zložité a neprehľadné funkcie. ( ) Veta. Nech 0 < k < n , n ≥ 2 , k, n∈ℵ . Nech f ( x ) = 0 k je nepárne, extrém v bode x 0 nie je. Ak n je párne, potom: ( ) Ak f ( x ) > 0 n ( ) Ak f ( x ) < 0 n 0 0 , tak je v bode x 0 ostré lokálne minimum. , tak je v bode x 0 ostré lokálne maximum. 0 ( ) a f ( x ) ≠ 0 n 0 . Ak n Poznámka. Táto veta sa používa v prípadoch, keď f ( x ) = f '' ( x ) = 0 ' 0 0 a o extréme teda stále nič nevieme. Treba zistiť, ktorá derivácia je ako prvá nenulová a pozrieť sa, či je párna alebo nepárna. Pri nepárnej extrém neexistuje. Pri párnej existuje a či je to minimum alebo maximum, rozhodne to, či je derivácia väčšia alebo menšia ako nula. Inflexný bod (Obr. 50). Bod x 0 , v ktorom sa funkcia mení z konvexnej na konkávnu alebo z konkávnej na konvexnú, sa volá inflexný bod. 95
Page 1:
Univerzita Komenského v Bratislave
Page 4 and 5:
Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 6 and 7:
Page 8 and 9:
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45: Učebné texty z matematiky pre 1.
Page 136: Učebné texty z matematiky pre 1.
show all

B - Prírodovedecká fakulta - Univerzita Komenského

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?