Noter til E6 - dirac

More documents

Recommendations

Info

$Guide to Imfufa LaTeX - dirac$

14 Den statistiske model Tabel 2.5 Newcombs bestemmelser af lysets passagetid af en strækning på 7442 m. Tabelværdierne ×10 −3 + 24.8 er passagetiden i 10 −6 sek. 28 26 33 24 34 –44 27 16 40 –2 29 22 24 21 25 30 23 29 31 19 24 20 36 32 36 28 25 21 28 29 37 25 28 26 30 32 36 26 30 22 36 23 27 27 28 27 31 27 26 33 26 32 32 24 39 28 24 25 32 25 29 27 28 29 16 23 Eksempel 2.7 (Lysets hastighed) I årene 1879-82 foretog den amerikanske fysiker A.A. Michelson og den amerikanske matematiker og astronom S. Newcomb en række efter den tids forhold temmelig nøjagtige bestemmelser af lysets hastighed i luft. Deres metoder var baseret på Foucaults idé med at sende en lysstråle fra et hurtigt roterende spejl hen på et fjernt fast spejl som returnerer lysstrålen til det roterende spejl, hvor man måler dens vinkelforskydning i forhold til den oprindelige lysstråle. Hvis man kender rotationshastigheden samt afstanden mellem spejlene, kan man derved bestemme lyshastigheden. I tabel 2.5 er vist resultaterne af de 66 målinger som Newcomb foretog i perioden 24. juli til 5. september 1882 i Washington, D.C. I Newcombs opstilling var der 3721 m mellem det roterende spejl der var placeret i Fort Myer på vestbredden af Potomac-floden, og det faste spejl der var anbragt på George Washington-monumentets fundament. Den størrelse som Newcomb rapporterer, er lysets passagetid, altså den tid som det er om at tilbagelægge den pågældende distance. Af de 66 værdier i tabellen skiller to sig ud, nemlig −44 og −2, der synes at være outliers, altså tal der tilsyneladende ligger for langt væk fra flertallet af observationerne. I den efterfølgende analyse af tallene vil vi vælge at se bort fra de to nævnte observationer, og der indgår således kun 64 observationer i analysen. ⊲ [Eksemplet fortsættes i eksempel 3.5 side 26.] Tostikprøveproblemet i normalfordelingen Man har to grupper af individer, og på hvert individ har man målt værdien af en bestemt variabel Y . Individerne i den ene gruppe hører ikke sammen med dem i den anden gruppe på nogen måde, de er uparrede. Der behøver heller ikke være lige mange observationer i de to grupper. Skematisk ser situationen sådan ud:
2.1 Eksempler 15 observationer gruppe 1 y 11 y 12 . . . y 1j . . . y 1n1 gruppe 2 y 21 y 22 . . . y 2j . . . y 2n2 Her betegner y ij observation nr. j i gruppe nr. i, i = 1, 2. Grupperne har henholdsvis n 1 og n 2 observationer. Vi vil gå ud fra at forskellen mellem observationer inden for en gruppe er tilfældig, hvorimod der er en systematisk forskel på to de grupper – det er derfor at observationerne er inddelt i grupper! Endelig antages at y ij -erne er observerede værdier af uafhængige stokastiske variable Y ij som er normalfordelte med samme varians σ 2 og med E Y ij = µ i , j = 1, 2, . . . , n i , i = 1, 2. På denne måde beskriver de to middelværdiparametre µ 1 og µ 2 den systematiske variation, dvs. de to gruppers niveauer, medens variansparameteren σ 2 (samt normalfordelingen) beskriver den tilfældige variation der altså er den samme i begge grupper (denne antagelse kan man eventuelt teste, se opgave 4.2 side 45). Modelfunktionen er ⎛ ⎞ 2∑ ∑n i ( ) (y ij − µ i ) 2 n f(y, µ 1 , µ 2 , σ 2 1 ) = √ exp 2πσ 2 ⎜ − 1 i=1 j=1 ⎝ 2 σ 2 ⎟ ⎠ hvor y = (y 11 , y 12 , y 13 , . . . , y 1n1 , y 21 , y 22 , . . . , y 2n2 ) ∈ R n , (µ 1 , µ 2 ) ∈ R 2 og σ 2 > 0; vi har her sat n = n 1 + n 2 . Den til (2.2) svarende spaltning af kvadratsummen er 2∑ ∑n i (y ij − µ i ) 2 = i=1 j=1 hvor y i = 1 n ∑n i j=1 2∑ ∑n i (y ij − y i ) 2 + i=1 j=1 y ij er gennemsnittet i gruppe nr. i. Log-likelihoodfunktionen er 2∑ n i (y i − µ i ) 2 ln L(µ 1 , µ 2 , σ 2 ) (2.4) ⎛ ⎞ = konst − n 2 ln(σ2 ) − 1 2∑ ∑n i 2∑ ⎝ 2σ 2 (y ij − y i ) 2 + n i (y i − µ i ) 2 ⎠ . ⊲ [Fortsættes side 27.] i=1 j=1 Eksempel 2.8 (C-vitamin) C-vitamin (ascorbinsyre) er et veldefineret kemisk stof som man sagtens kan fremstille industrielt, og man skulle tro at det industrielt fremstillede virker på nøjagtig samme måde som »naturligt« C-vitamin. For at undersøge om det nu også forholder sig sådan, har man foretaget et eksperiment med nogle marsvin (små gnavere). i=1 i=1
Page 1 and 2: Noter til E6 Del 2: Statistik Jørg
Page 3 and 4: Indhold 1 Indledning 3 2 Den statis
Page 5 and 6: 1 Indledning Hvor sandsynlighedsreg
Page 7 and 8: 2 Den statistiske model Vi vil før
Page 9 and 10: 2.1 Eksempler 7 Den simple binomial
Page 11 and 12: 2.1 Eksempler 9 Tabel 2.2 Rismelsbi
Page 13 and 14: 2.1 Eksempler 11 Tabel 2.3 Genotype
Page 15: 2.1 Eksempler 13 tionen er n∏ f(y
Page 19 and 20: 2.2 Opgaver 17 Tabel 2.6 Forbes’
Page 21 and 22: 3 Estimation En statistisk model er
Page 23 and 24: 3.2 Eksempler 21 asymptotisk varian
Page 25 and 26: 3.2 Eksempler 23 Eksempel 3.2 (Rism
Page 27 and 28: 3.2 Eksempler 25 I Poissonfordeling
Page 29 and 30: 3.2 Eksempler 27 med 63 frihedsgrad
Page 31 and 32: 3.2 Eksempler 29 idet de øvrige to
Page 33: 3.3 Opgaver 31 3.3 Opgaver Opgave 3
Page 36 and 37: 34 Hypoteseprøvning eller mere udf
Page 38 and 39: 36 Hypoteseprøvning Eksempel 4.1 (
Page 40 and 41: 38 Hypoteseprøvning Tabel 4.1 Rism
Page 42 and 43: 40 Hypoteseprøvning hvor by 1 = 69
Page 44 and 45: 42 Hypoteseprøvning Vi har tidlige
Page 46 and 47: 44 Hypoteseprøvning forhånd kan s
Page 49 and 50: 5 Nogle eksempler 5.1 Rismelsbiller
Page 51 and 52: 5.1 Rismelsbiller 49 brøkdel døde
Page 53 and 54: 5.1 Rismelsbiller 51 3 M logit(brø
Page 55 and 56: 5.1 Rismelsbiller 53 brøkdel døde
Page 57 and 58: 5.2 Lungekræft i Fredericia 55 br
Page 59 and 60: 5.2 Lungekræft i Fredericia 57 Tab
Page 61 and 62: 5.2 Lungekræft i Fredericia 59 = k
Page 67 and 68:
5.2 Lungekræft i Fredericia 65 Her
Page 69 and 70:
5.3 Ulykker på en granatfabrik 67
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
6 Den flerdimensionale normalfordel
Page 77 and 78:
6.2 Definition og egenskaber 75 6.2
Page 79 and 80:
6.2 Definition og egenskaber 77 Sæ
Page 81:
6.2 Definition og egenskaber 79 og
Page 84 and 85:
82 Lineære normale modeller ◦ De
Page 86 and 87:
84 Lineære normale modeller Hypote
Page 88 and 89:
86 Lineære normale modeller Tabel
Page 90 and 91:
88 Lineære normale modeller skal h
Page 92 and 93:
90 Lineære normale modeller samme
Page 94 and 95:
92 Lineære normale modeller gjaldt
Page 96 and 97:
94 Lineære normale modeller og alt
Page 98 and 99:
96 Lineære normale modeller Tabel
Page 100 and 101:
98 Lineære normale modeller Hvis m
Page 102 and 103:
100 Lineære normale modeller varia
Page 104 and 105:
102 Lineære normale modeller og no
Page 106 and 107:
104 Lineære normale modeller Konce
Page 108 and 109:
106 Lineære normale modeller Opgav
Page 110 and 111:
108
Page 112 and 113:
110 En udledning af normalfordeling
Page 114 and 115:
112
Page 116 and 117:
114 Nogle resultater fra lineær al
Page 118 and 119:
116
Page 120 and 121:
118 Tabeller Fraktiler i χ 2 -ford
Page 122 and 123:
120 Tabeller 90% fraktiler i F -for
Page 124 and 125:
122 Tabeller 97.5% fraktiler i F -f
Page 126 and 127:
124 Tabeller Fraktiler i t-fordelin
Page 128 and 129:
126
Page 130 and 131:
128 Stikord - middelværdi 73 - var
show all

Noter til E6 - dirac

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?