Noter til E6 - dirac

7.2 Enstikprøveproblemet 83
7.2 Enstikprøveproblemet
Man har observationer y 1 , y 2 , . . . , y n af stokastiske variable Y 1 , Y 2 , . . . , Y n
som er uafhængige og identisk (endimensionalt) normalfordelte med middelværdi
µ og varians σ 2 hvor µ ∈ R og σ 2 > 0. Man ønsker at estimere
parametrene µ og σ 2 og sidenhen at teste hypotesen H 0 : µ = 0.
Vi vil tænke på y i ’erne som arrangeret i en n-dimensional vektor y
der opfattes som en observation af en n-dimensional stokastisk variabel
Y som er normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2 I, og hvor
det ifølge modellen antages at µ tilhører det endimensionale underrum
⎡ ⎤
1
1
L = {µ1 : µ ∈ R}. – Her er 1 vektoren bestående af 1’er, dvs. 1 = ⎢ ⎥
⎣.
⎦ .
1
Ifølge sætning 7.1 kan maksimaliseringsestimatet ̂µ findes ved at projicere
y vinkelret ned på L. Vi kan få en ligning til bestemmelse af ̂µ ved at
bemærke at y − ̂µ skal stå vinkelret på enhver vektor i L, specielt på
vektoren 1:
0 = 〈y − ̂µ, 1〉 =
n∑
(y i − ̂µ) = y − n̂µ
i=1
hvor y som sædvanlig er summen af y i ’erne. Heraf ses at ̂µ = ̂µ1 hvor
̂µ = y, dvs. µ estimeres ved gennemsnittet af observationerne. Maksimaliseringsestimatet
for σ 2 er derefter
̂σ 2 = 1 n ‖y − ̂µ‖2 = 1 n
og det centrale variansskøn er
n∑
(y i − y) 2 ,
i=1
s 2 =
1
n − dim L ‖y − ̂µ‖2 =
1
n − 1
n∑
(y i − y) 2 .
i=1
Disse estimater blev fundet på anden vis på side 25.
Vi vil herefter teste hypotesen H 0 : µ = 0, dvs. hypotesen µ ∈ L 0 hvor
L 0 = {0}. Under H 0 estimeres µ ved projektionen af y på L 0 , dvs. ved
0. Hypotesen kan derfor testes med F -teststørrelsen
F =
( )
1
2
1−0
‖̂µ − 0‖2
1
n−1 ‖y − = n ̂µ2 y
̂µ‖2 s 2 = √ ,
s2 /n
dvs. F = t 2 hvor t er den sædvanlige t-teststørrelse, jf. side 40. Man kan
derfor efter behag bruge F (med 1 og n − 1 frihedsgrader) eller t (med
n − 1 frihedsgrader) som teststørrelse.