Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

7.2 Enstikprøveproblemet 83

7.2 Enstikprøveproblemet

Man har observationer y 1 , y 2 , . . . , y n af stokastiske variable Y 1 , Y 2 , . . . , Y n

som er uafhængige og identisk (endimensionalt) normalfordelte med middelværdi

µ og varians σ 2 hvor µ ∈ R og σ 2 > 0. Man ønsker at estimere

parametrene µ og σ 2 og sidenhen at teste hypotesen H 0 : µ = 0.

Vi vil tænke på y i ’erne som arrangeret i en n-dimensional vektor y

der opfattes som en observation af en n-dimensional stokastisk variabel

Y som er normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2 I, og hvor

det ifølge modellen antages at µ tilhører det endimensionale underrum

⎡ ⎤

1

1

L = {µ1 : µ ∈ R}. – Her er 1 vektoren bestående af 1’er, dvs. 1 = ⎢ ⎥

⎣.

⎦ .

1

Ifølge sætning 7.1 kan maksimaliseringsestimatet ̂µ findes ved at projicere

y vinkelret ned på L. Vi kan få en ligning til bestemmelse af ̂µ ved at

bemærke at y − ̂µ skal stå vinkelret på enhver vektor i L, specielt på

vektoren 1:

0 = 〈y − ̂µ, 1〉 =

n∑

(y i − ̂µ) = y − n̂µ

i=1

hvor y som sædvanlig er summen af y i ’erne. Heraf ses at ̂µ = ̂µ1 hvor

̂µ = y, dvs. µ estimeres ved gennemsnittet af observationerne. Maksimaliseringsestimatet

for σ 2 er derefter

̂σ 2 = 1 n ‖y − ̂µ‖2 = 1 n

og det centrale variansskøn er

n∑

(y i − y) 2 ,

i=1

s 2 =

1

n − dim L ‖y − ̂µ‖2 =

1

n − 1

n∑

(y i − y) 2 .

i=1

Disse estimater blev fundet på anden vis på side 25.

Vi vil herefter teste hypotesen H 0 : µ = 0, dvs. hypotesen µ ∈ L 0 hvor

L 0 = {0}. Under H 0 estimeres µ ved projektionen af y på L 0 , dvs. ved

0. Hypotesen kan derfor testes med F -teststørrelsen

F =

( )

1

2

1−0

‖̂µ − 0‖2

1

n−1 ‖y − = n ̂µ2 y

̂µ‖2 s 2 = √ ,

s2 /n

dvs. F = t 2 hvor t er den sædvanlige t-teststørrelse, jf. side 40. Man kan

derfor efter behag bruge F (med 1 og n − 1 frihedsgrader) eller t (med

n − 1 frihedsgrader) som teststørrelse.

More magazines by this user
Similar magazines