Noter til E6 - dirac

84 Lineære normale modeller
Hypotesen µ = 0 er den eneste hypotese af formen µ ∈ L 0 hvor L 0 er
et underrum af L; men hvad gør man så hvis den interessante hypotese
er af formen µ = µ 0 hvor µ 0 ikke er 0? Svar: Træk µ 0 fra alle y-erne og
benyt den netop beskrevne metode. Derved får man en F - eller t-størrelse
hvor der i tælleren står y − µ 0 i stedet for y, alt andet er uforandret.
7.3 Ensidet variansanalyse
Man har observationer der er delt ind i k grupper; observationerne benævnes
y ij hvor i = 1, 2, . . . , k er gruppenummer og j = 1, 2, . . . , n i
nummererer observationerne inden for gruppen. Skematisk ser det sådan
ud:
observationer
gruppe 1 y 11 y 12 . . . y 1j . . . y 1n1
gruppe 2 y 21 y 22 . . . y 2j . . . y 2n2
.
.
.
. .. .
. .. .
gruppe i y i1 y i2 . . . y ij . . . y ini
.
. .
. .. .
. .. .
gruppe k y k1 y k2 . . . y kj . . . y knk
Vi går ud fra at forskellen mellem observationerne inden for en gruppe
er tilfældig, hvorimod der er en systematisk forskel mellem grupperne.
Vi går endvidere ud fra at y ij -erne er observerede værdier af uafhængige
stokastiske variable Y ij . Den tilfældige variation vil vi beskrive ved hjælp
af en normalfordeling, og det skal derfor alt i alt være sådan at Y ij er
normalfordelt med middelværdi µ i og varians σ 2 . Formuleret mere omhyggeligt:
vi antager at der findes reelle tal µ 1 , µ 2 , . . . , µ k og et positivt
tal σ 2 således at Y ij er normalfordelt med middelværdi µ i og varians
σ 2 , j = 1, 2, . . . , n i , i = 1, 2, . . . , k; desuden er alle Y ij ’erne uafhængige.
– På denne måde beskriver middelværdiparametrene µ 1 , µ 2 , . . . , µ k den
systematiske variation, nemlig de enkelte gruppers niveauer, mens variansparameteren
σ 2 (samt normalfordelingen) beskriver den tilfældige variation
inden for grupperne. Den tilfældige variation antages at være den
samme i alle grupperne, og denne antagelse kan man undertiden teste, se
afsnit 7.4.
Man ønsker at estimere parametrene µ 1 , µ 2 , . . . , µ k og σ 2 , og man
ønsker at teste hypotesen H 0 : µ 1 = µ 2 = . . . = µ k , dvs. hypotesen om
at der ikke er forskel på de k grupper.
Vi vil opfatte y ij -erne som en vektor y ∈ V = R n hvor n = n er antallet
af observationer. Grundmodellen er da at y er en observeret værdi af
en n-dimensionalt normalfordelt stokastisk variabel Y med middelværdi
µ og varians σ 2 I hvor σ 2 > 0 og hvor µ tilhører det underrum som man