Noter til E6 - dirac

22 Estimation
Den simple binomialfordelingsmodel
⊳ [Fortsat fra side 7.]
I den simple binomialfordelingsmodel er likelihoodfunktionen
L(θ) =
( n
y)
θ y (1 − θ) n−y , θ ∈ [ 0 ; 1 ]
og log-likelihoodfunktionen
( n
ln L(θ) = ln + y ln θ + (n − y) ln(1 − θ), θ ∈ [ 0 ; 1 ].
y)
Pånær en konstant er denne funktion magen til den tilsvarende i enstikprøveproblemet
med 01-variable. Vi kan derfor straks konstatere at maksimaliseringsestimatoren
er ̂θ = Y/n. Da Y har samme fordeling som X , er
fordelingen af maksimaliseringsestimatoren den samme i de to modeller,
specielt er også her E θ ̂θ = θ og Varθ ̂θ = θ(1 − θ)/n.
⊲ [Læs fortsættelsen side 35.]
Eksempel 3.1 (Rismelsbiller I)
⊳ [Fortsat fra eksempel 2.3 side 7.]
I taleksemplet med
q
rismelsbiller er θ b = 43/144 ≈ 0.30. Den estimerede standardafvigelse
er bθ(1 − θ)/144 b = 0.04.
⊲ [Eksemplet fortsætter som eksempel 4.1 side 36.]
Sammenligning af binomialfordelinger
⊳ [Fortsat fra side 8.]
Log-likelihoodfunktionen svarende til y er
ln L(θ) = konst +
s∑ (
yj ln θ j + (n j − y j ) ln(1 − θ j ) ) . (3.1)
j=1
Det ses at ln L er en sum af led der hver især (pånær en konstant) er en
log-likelihoodfunktion fra en simpel binomialfordelingsmodel, og desuden
optræder parameteren θ j kun i det j-te led. Vi kan derfor uden videre
opskrive maksimaliseringsestimatoren som
̂θ = (̂θ 1 , ̂θ 2 , . . . , ̂θ s ) =
(
Y1
, Y 2
, . . . , Y )
s
.
n 1 n 2 n s
Da Y 1 , Y 2 , . . . , Y s er uafhængige, bliver estimatorerne ̂θ 1 , ̂θ 2 , . . . , ̂θ s også
uafhængige, og som i den simple binomialfordelingsmodel er E ̂θ j = θ j og
Var ̂θ j = θ j (1 − θ j )/n j , j = 1, 2, . . . , s.
⊲ [Læs fortsættelsen side 36.]