Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

22 Estimation

Den simple binomialfordelingsmodel

⊳ [Fortsat fra side 7.]

I den simple binomialfordelingsmodel er likelihoodfunktionen

L(θ) =

( n

y)

θ y (1 − θ) n−y , θ ∈ [ 0 ; 1 ]

og log-likelihoodfunktionen

( n

ln L(θ) = ln + y ln θ + (n − y) ln(1 − θ), θ ∈ [ 0 ; 1 ].

y)

Pånær en konstant er denne funktion magen til den tilsvarende i enstikprøveproblemet

med 01-variable. Vi kan derfor straks konstatere at maksimaliseringsestimatoren

er ̂θ = Y/n. Da Y har samme fordeling som X , er

fordelingen af maksimaliseringsestimatoren den samme i de to modeller,

specielt er også her E θ ̂θ = θ og Varθ ̂θ = θ(1 − θ)/n.

⊲ [Læs fortsættelsen side 35.]

Eksempel 3.1 (Rismelsbiller I)

⊳ [Fortsat fra eksempel 2.3 side 7.]

I taleksemplet med

q

rismelsbiller er θ b = 43/144 ≈ 0.30. Den estimerede standardafvigelse

er bθ(1 − θ)/144 b = 0.04.

⊲ [Eksemplet fortsætter som eksempel 4.1 side 36.]

Sammenligning af binomialfordelinger

⊳ [Fortsat fra side 8.]

Log-likelihoodfunktionen svarende til y er

ln L(θ) = konst +

s∑ (

yj ln θ j + (n j − y j ) ln(1 − θ j ) ) . (3.1)

j=1

Det ses at ln L er en sum af led der hver især (pånær en konstant) er en

log-likelihoodfunktion fra en simpel binomialfordelingsmodel, og desuden

optræder parameteren θ j kun i det j-te led. Vi kan derfor uden videre

opskrive maksimaliseringsestimatoren som

̂θ = (̂θ 1 , ̂θ 2 , . . . , ̂θ s ) =

(

Y1

, Y 2

, . . . , Y )

s

.

n 1 n 2 n s

Da Y 1 , Y 2 , . . . , Y s er uafhængige, bliver estimatorerne ̂θ 1 , ̂θ 2 , . . . , ̂θ s også

uafhængige, og som i den simple binomialfordelingsmodel er E ̂θ j = θ j og

Var ̂θ j = θ j (1 − θ j )/n j , j = 1, 2, . . . , s.

⊲ [Læs fortsættelsen side 36.]

More magazines by this user
Similar magazines