Noter til E6 - dirac

74 Den flerdimensionale normalfordeling
eller kort
Var X = E ( (X − E X)(X − E X) ′)
– forudsat at alle de optrædende endimensionale stokastiske variable har
en varians.
Ud fra definitionerne viser man let
Sætning 6.1
Lad X være en n-dimensional stokastisk variabel, og antag at X har
middelværdi og varians. Hvis A er en lineær afbildning fra R n til R p
[eller en p × n-matrix], og b er en konstant vektor i R p [eller en p × 1-
matrix], så er
E(AX + b) = A(E X) + b (6.1)
Var(AX + b) = A(Var X)A ′ . (6.2)
Eksempel 6.1 (Multinomialfordelingen)
Multinomialfordelingen er et eksempel på en flerdimensional fordeling. Hvis
2 3
X 1
X 2
X = 6
7 er multinomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter
p = 6
7 hvor pi’erne er ikke-negative tal med sum 1, så er
4
. 5
X r
2 3
p 1
p 2
4
. 5
p r
2 3
2
3
np 1
np 1(1 − p 1) −np 1p 2 · · · −np 1p r
np 2
E X = 6
7
4
. 5 og Var X = −np 2p 1 np 2(1 − p 2) · · · −np 2p r
6
4
.
.
. ..
. 7 .. 5 .
np r −np rp 1 −np rp 2 · · · np r(1 − p r)
Hvis A er den lineære afbildning der udregner summen af koordinaterne,
2 3
2 3
x 1
x 1
x 2
A : 6
7
4
. 5 ↦−→ ˆ1 x 2
1 . . . 1˜
6
7 = x1, x2, . . . , xr,
4
. 5
x r x r
så er AX konstant lig med n, dvs. Var(AX) = 0. Da Var(AX) = A(Var X)A ′
(formel (6.2)) har vi her et eksempel hvor Var X ikke er positivt definit (men
kun positivt semidefinit).