Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

4 Hypoteseprøvning

Antag at man opererer med en statistisk model som har en modelfunktion

f(x, θ) hvor x ∈ X og θ ∈ Θ. En statistisk hypotese er en påstand

om at den sande parameterværdi θ faktisk er beliggende i delmængden

Θ 0 af Θ, formelt

H 0 : θ ∈ Θ 0

hvor Θ 0 ⊂ Θ. Den statistiske hypotese postulerer altså at man kan klare

sig med en simplere model.

Når man tester hypotesen, undersøger man hvordan hypotesen og de

faktisk foreliggende observationer stemmer overens. Det foregår ved at

man finder på eller vælger en endimensional stikprøvefunktion t kaldet

en teststørrelse som er indrettet på en måde så den »måler« afvigelsen

mellem observationer og hypotese. Herefter udregner man den såkaldte

testsandsynlighed, dvs. sandsynligheden (forudsat at hypotesen er rigtig)

for at få en værdi af X der stemmer dårligere overens (målt ved hjælp af t)

med hypotesen end den foreliggende observation x gør; hvis overensstemmelsen

er meget dårlig, så forkaster man hypotesen. – Hele proceduren

benævnes et test.

4.1 Kvotienttestet

Ligesom likelihoodfunktionen kunne danne udgangspunkt for konstruktion

af en estimator for θ, kan den bruges i forbindelse med hypoteseprøvning.

Man kan nemlig benytte følgende generelle metode til at konstruere

en teststørrelse.

1. Find maksimaliseringsestimatoren ̂θ i grundmodellen og maksimaliseringsestimatoren

̂̂θ under hypotesen, dvs. ̂θ er et punkt hvor ln L

er maksimal i Θ, og ̂̂θ er et punkt hvor ln L er maksimal i Θ0 .

For at teste hypotesen sammenligner vi likelihoodfunktionens maksimale

værdi under hypotesen med dens maksimale værdi i grundmodellen,

dvs. vi sammenligner den bedste beskrivelse vi kan få af

x under hypotesen, med den bedste beskrivelse vi kan få i grundmodellen.

Det kan gøres med kvotientteststørrelsen

Q = L(̂̂θ)

L(̂θ)

(4.1)

33

More magazines by this user
Similar magazines