Noter til E6 - dirac

4 Hypoteseprøvning
Antag at man opererer med en statistisk model som har en modelfunktion
f(x, θ) hvor x ∈ X og θ ∈ Θ. En statistisk hypotese er en påstand
om at den sande parameterværdi θ faktisk er beliggende i delmængden
Θ 0 af Θ, formelt
H 0 : θ ∈ Θ 0
hvor Θ 0 ⊂ Θ. Den statistiske hypotese postulerer altså at man kan klare
sig med en simplere model.
Når man tester hypotesen, undersøger man hvordan hypotesen og de
faktisk foreliggende observationer stemmer overens. Det foregår ved at
man finder på eller vælger en endimensional stikprøvefunktion t kaldet
en teststørrelse som er indrettet på en måde så den »måler« afvigelsen
mellem observationer og hypotese. Herefter udregner man den såkaldte
testsandsynlighed, dvs. sandsynligheden (forudsat at hypotesen er rigtig)
for at få en værdi af X der stemmer dårligere overens (målt ved hjælp af t)
med hypotesen end den foreliggende observation x gør; hvis overensstemmelsen
er meget dårlig, så forkaster man hypotesen. – Hele proceduren
benævnes et test.
4.1 Kvotienttestet
Ligesom likelihoodfunktionen kunne danne udgangspunkt for konstruktion
af en estimator for θ, kan den bruges i forbindelse med hypoteseprøvning.
Man kan nemlig benytte følgende generelle metode til at konstruere
en teststørrelse.
1. Find maksimaliseringsestimatoren ̂θ i grundmodellen og maksimaliseringsestimatoren
̂̂θ under hypotesen, dvs. ̂θ er et punkt hvor ln L
er maksimal i Θ, og ̂̂θ er et punkt hvor ln L er maksimal i Θ0 .
For at teste hypotesen sammenligner vi likelihoodfunktionens maksimale
værdi under hypotesen med dens maksimale værdi i grundmodellen,
dvs. vi sammenligner den bedste beskrivelse vi kan få af
x under hypotesen, med den bedste beskrivelse vi kan få i grundmodellen.
Det kan gøres med kvotientteststørrelsen
Q = L(̂̂θ)
L(̂θ)
(4.1)
33