Noter til E6 - dirac

4.2 Eksempler 43
til den estimerede standardafvigelse på denne forskel. Kvotientteststørrelsen
er således ækvivalent med et test hvor teststørrelsen er »umiddelbart
forståelig«.
Testsandsynligheden kan udregnes som ε = P 0 (|t| > |t obs |). Om fordelingen
af t under H 0 gælder
Sætning 4.2
Antag at de stokastiske variable X ij er indbyrdes uafhængige normalfordelte
med samme varians σ 2 og med E X ij = µ i , j = 1, 2, . . . , n i , i = 1, 2.
Sæt
X i = 1 ∑n i
X ij , i = 1, 2, og
n i
s 2 0 =
j=1
1
n − 2
Så er den stokastiske variabel
2∑ ∑n i
(X ij − X i ) 2
i=1 j=1
t =
X 1 − X 2
√
s 2 0 ( 1 n 1
+ 1 n 2
)
t-fordelt med n − 2 frihedsgrader (n = n 1 + n 2 ).
Supplerende bemærkninger:
◦ Hvis hypotesen H 0 om ens middelværdier godkendes, er der ikke
tale om to forskellige stikprøver med hver sin middelværdi, men
om én stikprøve med n 1 + n 2 observationer. I konsekvens heraf skal
middelværdi og varians estimeres som i et enstikprøveproblem, dvs.
som y og s 2 01 hvor
og
y = 1 n
2∑ ∑n i
i=1 j=1
y ij
s 2 01 =
1
n − 1
2∑ ∑n i
(y ij − y) 2 .
i=1 j=1
◦ Fordelingen af t under H 0 afhænger ikke af de to ukendte parameter
σ 2 og den fælles værdi af middelværdierne.
◦ t-fordelingen er symmetrisk omkring 0, og testsandsynligheden kan
derfor udregnes som P(|t| > |t obs |) = 2 P(t > |t obs |).
I visse situationer kan man argumentere for det fornuftige i kun at
forkaste hypotesen hvis t er stor og positiv (svarende til at y 1 er
større end y 2 ); det kan for eksempel komme på tale hvis man på