Noter til E6 - dirac

6 Den flerdimensionale
normalfordeling
Statistiske modeller for normalfordelte observationer kan, som vi
skal se i kapitel 7, formuleres meget overskueligt og elegant ved brug af
terminologi fra lineær algebra, og bestemmelse af estimatorer og teststørrelser
og udledning af deres fordelinger kan med stor fordel foregå inden
for disse rammer.
Inden vi for alvor kan gå i gang med normalfordelingsmodellerne, er
der nogle forberedende ting der skal overståes, ligesom læseren måske
vil have glæde af at se i tillægget om lineær algebra (side 113ff). I afsnit
6.1 præciseres enkelte ting i forbindelse med flerdimensionale fordelinger,
blandt andet om middelværdi og varians. Derefter (i afsnit 6.2)
skal vi definere den flerdimensionale normalfordeling, hvilket viser sig at
være besværligere end man måske umiddelbart skulle tro.
6.1 Flerdimensionale stokastiske variable
En n-dimensional stokastisk variabel X kan opfattes som et sæt bestående
af n endimensionale stokastiske variable, eller som en stokastisk
vektor (i vektorrummet V = R n ) hvis koordinater i standardkoordinatsystemet
er n endimensionale stokastiske variable. Middelværdien af den
⎡ ⎤
⎡ ⎤
X 1
E X 1
X 2
stokastiske variabel X = ⎢ ⎥
⎣ . ⎦ er vektoren E X = E X 2
⎢ ⎥, altså talsættet
bestående af middelværdierne af de enkelte koordinater – forudsat at
⎣ . ⎦
X n E X n
alle de optrædende endimensionale stokastiske variable har middelværdi.
Variansen af X er den symmetriske positivt semidefinitte n × n-matrix
hvis (i, j)-te element er Cov(X i , X j ):
Var X =
⎡
⎤
Var X 1 Cov(X 1 , X 2 ) · · · Cov(X 1 , X n )
Cov(X 2 , X 1 ) Var X 2 · · · Cov(X 2 , X n )
⎢
⎣
. ⎥
.
. .. . ⎦
Cov(X n , X 1 ) Cov(X 2 , X n ) · · · Var X n
73