Noter til E6 - dirac

92 Lineære normale modeller
gjaldt at L 1 ∩ L 2 = L 3 . Sagen er at denne model i realiteten består af to
separate delmodeller (for hhv. celle (1, 2) og celle (2, 1)), og derfor bliver
dim(L 1 ∩ L 2 ) > 1 eller ensbetydende hermed dim(L 0 ) < r + s − 1 (det
følger ved brug af den generelle formel dim(L 1 +L 2 ) = dim L 1 +dim L 2 −
dim(L 1 ∩ L 2 ) og det faktum at L 0 = L 1 + L 2 ).
Vi indfører begrebet en sammenhængende model på følgende måde:
Ud fra antalstabellen n laver vi en graf hvor knuderne er de talpar (i, j)
for hvilke n ij > 0, og hvor kanterne forbinder par af »naboknuder« som
enten har samme i eller samme j. Eksempel:
5 8 0
1 0 4
−→
Vi siger at modellen er sammenhængende, hvis grafen er sammenhængende
(som den er i eksemplet). Man overbeviser sig let om at modellen
er sammenhængende hvis og kun hvis nulrummet for den lineære afbildning
der afbilder (α 1 , α 2 , . . . , α r , β 1 , β 2 , . . . , β s ) ∈ R r ×R s over i den »tilsvarende«
vektor i L 0 , er endimensionalt. Udtrykt på almindeligt dansk
er en sammenhængende model en model hvor følgende ræsonnement er
korrekt: »hvis alle rækkeparametre er ens og alle søjleparametre er ens,
så er alle celler ens«.
I det følgende beskæftiger vi os kun med sammenhængende modeller.
Projektionen på L 0
Ifølge den generelle teori estimeres middelværdivektoren µ under H 0 ved
projektionen p 0 y af y på L 0 . I visse tilfælde findes en nem formel til
beregning af denne projektion. – Vi minder indledningsvis om at L 0 =
L 1 + L 2 og L 3 = L 1 ∩ L 2 . Lad os nu antage at
(L 1 ∩ L ⊥ 3 ) ⊥ (L 2 ∩ L ⊥ 3 ); (7.2)
i så fald er
og dermed
dvs.
L 0 = (L 1 ∩ L ⊥ 3 ) ⊕ (L 2 ∩ L ⊥ 3 ) ⊕ L 3
p 0 = (p 1 − p 3 ) + (p 2 − p 3 ) + p 3
α̂
i + β j = (y i − y ) + (y j − y ) + y
= y i + y j − y
Se, det var jo en meget fin formel. Spørgsmålet er nu hvornår forudsætningen
(7.2) er opfyldt. Nødvendigt og tilstrækkeligt for (7.2) er at
〈p 1 e − p 3 e, p 2 f − p 3 f〉 = 0 (7.3)
for alle e, f ∈ B hvor B er en basis for L. Som B kan man f.eks. bruge
vektorerne e ρσ hvor (e ρσ ) ijk = 1 hvis (i, j) = (ρ, σ), og 0 ellers. Hvis