Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

92 Lineære normale modeller

gjaldt at L 1 ∩ L 2 = L 3 . Sagen er at denne model i realiteten består af to

separate delmodeller (for hhv. celle (1, 2) og celle (2, 1)), og derfor bliver

dim(L 1 ∩ L 2 ) > 1 eller ensbetydende hermed dim(L 0 ) < r + s − 1 (det

følger ved brug af den generelle formel dim(L 1 +L 2 ) = dim L 1 +dim L 2 −

dim(L 1 ∩ L 2 ) og det faktum at L 0 = L 1 + L 2 ).

Vi indfører begrebet en sammenhængende model på følgende måde:

Ud fra antalstabellen n laver vi en graf hvor knuderne er de talpar (i, j)

for hvilke n ij > 0, og hvor kanterne forbinder par af »naboknuder« som

enten har samme i eller samme j. Eksempel:

5 8 0

1 0 4

−→

Vi siger at modellen er sammenhængende, hvis grafen er sammenhængende

(som den er i eksemplet). Man overbeviser sig let om at modellen

er sammenhængende hvis og kun hvis nulrummet for den lineære afbildning

der afbilder (α 1 , α 2 , . . . , α r , β 1 , β 2 , . . . , β s ) ∈ R r ×R s over i den »tilsvarende«

vektor i L 0 , er endimensionalt. Udtrykt på almindeligt dansk

er en sammenhængende model en model hvor følgende ræsonnement er

korrekt: »hvis alle rækkeparametre er ens og alle søjleparametre er ens,

så er alle celler ens«.

I det følgende beskæftiger vi os kun med sammenhængende modeller.





Projektionen på L 0

Ifølge den generelle teori estimeres middelværdivektoren µ under H 0 ved

projektionen p 0 y af y på L 0 . I visse tilfælde findes en nem formel til

beregning af denne projektion. – Vi minder indledningsvis om at L 0 =

L 1 + L 2 og L 3 = L 1 ∩ L 2 . Lad os nu antage at

(L 1 ∩ L ⊥ 3 ) ⊥ (L 2 ∩ L ⊥ 3 ); (7.2)

i så fald er

og dermed

dvs.

L 0 = (L 1 ∩ L ⊥ 3 ) ⊕ (L 2 ∩ L ⊥ 3 ) ⊕ L 3

p 0 = (p 1 − p 3 ) + (p 2 − p 3 ) + p 3

α̂

i + β j = (y i − y ) + (y j − y ) + y

= y i + y j − y

Se, det var jo en meget fin formel. Spørgsmålet er nu hvornår forudsætningen

(7.2) er opfyldt. Nødvendigt og tilstrækkeligt for (7.2) er at

〈p 1 e − p 3 e, p 2 f − p 3 f〉 = 0 (7.3)

for alle e, f ∈ B hvor B er en basis for L. Som B kan man f.eks. bruge

vektorerne e ρσ hvor (e ρσ ) ijk = 1 hvis (i, j) = (ρ, σ), og 0 ellers. Hvis

More magazines by this user
Similar magazines