Noter til E6 - dirac

70 Nogle eksempler
( ) y + κ − 1 Γ(y + κ)
hvor p = 1/(β + 1). Med betegnelsen
=
y y! Γ(κ)
(som hvis m er et naturligt tal, blot er den sædvanlige definition af
binomialkoefficient) er sandsynligheden for y ulykker
( ) y + κ − 1
P(Y = y) =
p κ (1 − p) y , y ∈ {0, 1, 2, . . .}.
y
Vi ser at Y er negativt binomialfordelt med formparameter κ og
sandsynlighedsparameter p = 1/(β + 1).
I den negative binomialfordeling er der to parametre man kan »skrue på«,
og man kan håbe at det derved er muligt at få denne model til at passe
bedre til observationerne end model 1 gjorde.
I den nye model er middelværdi og varians af Y givet ved
og
E(Y ) = κ(1 − p)/p
= κβ
Var(Y ) = κ(1 − p)/p 2
= E(Y )/p
= κβ(β + 1).
Heraf ses blandt andet at variansen er (β + 1) gange større end middelværdien.
– I det foreliggende talmateriale fandt vi netop at variansen
var større end middelværdien, så foreløbig kan det ikke udelukkes at den
negative binomialfordelingsmodel er brugbar.
Estimation af parametrene i Model 2
Vi benytter som altid med likelihoodmetoden til estimation af de ukendte
parametre. Likelihoodfunktionen er
L(κ, p) =
n∏
i=1
( )
yi + κ − 1
p κ (1 − p) yi
y i
= p nκ (1 − p) y1,y2,...,yn n
∏
= konst · p nκ (1 − p) y
i=1
∞∏
k=1
( )
yi + κ − 1
y i
(κ + k − 1) P ∞
j=k fj ,
hvor f k stadig betegner antal observationer som har værdien k. Logaritmen
til likelihoodfunktionen bliver derfor (pånær en konstant)
⎛ ⎞
∞∑ ∞∑
ln L(κ, p) = nκ ln p + y ln(1 − p) + ⎝ f j
⎠ ln(κ + k − 1)
k=1
j=k