Noter til E6 - dirac

30 Estimation
ln(Lufttryk)
3.4
3.3
3.2
3.1
3
•
• • • • •
•
•
•
•
• • •
195 200 205 210 215
Kogepunkt
Figur 3.2 Forbes’ målinger: Datapunkter plus estimeret regressionslinje.
3. a) Estimatoren ̂α + ̂βx er normalfordelt med middelværdi α + βx
og varians σ 2 /n.
b) Estimatorerne ̂α + ̂βx og ̂β er ukorrelerede.
4. Variansestimatoren s 2 02 er stokastisk uafhængig af middelværdiestimatorerne,
og den er gammafordelt med formparameter f/2 og skalaparameter
2σ 2 /f hvor f = n − 2, eller sagt på en anden måde:
f/σ 2 · s 2 02 er χ 2 -fordelt med f frihedsgrader.
Heraf følger blandt andet at E s 2 02 = σ 2 .
Eksempel 3.7 (Forbes’ barometriske målinger)
⊳ [Fortsat fra eksempel 2.9 side 17.]
Som man ser af figur 2.1, er der et enkelt punkt der ser ud til af afvige temmelig
meget fra det almindelige mønster, så vi vælger at se bort fra dette punkt og
altså kun regne med de 16 resterende punkter.
Man finder den estimerede regressionslinje til
ln(lufttryk) = 0.0205 · kogepunkt − 0.95
og den estimerede varians er s 2 02 = 6.84 × 10 −6 med 14 frihedsgrader. figur 3.2
viser de observerede punkter og den estimerede linje. Umiddelbart ser det ud
til at linjen beskriver punkterne udmærket.
Hvis man skal have nogen praktisk fornøjelse af sådanne kogepunktsbestemmelser,
skal man også kende sammenhængen mellem højde og lufttryk. Sålænge
vi holder os til bjerghøjder, aftager lufttrykket eksponentielt med højden, og
der gælder at hvis lufttrykket ved havets overflade er p 0 (f.eks. 1013.25 hPa)
og lufttrykket i højden h er p h , så er h ≈ 8150 m · (ln p 0 − ln p h ).