Noter til E6 - dirac

48 Nogle eksempler
logit-funktionen
Funktionen
logit(p) = ln
p
1 − p .
afbilder intervallet ]0,1[ bijektivt
på den reelle akse R. Den
omvendte funktion er
p =
exp(z)
1 + exp(z) .
Når p er sandsynligheden for en
bestemt hændelse (f.eks. at dø),
så er p/(1−p) forholdet mellem
sandsynligheden for hændelsen
og sandsynligheden for den
modsatte hændelse; dette tal
kaldes med et udtryk hentet fra
spillebranchen for odds for den
pågældende hændelse. Vi kan
dermed sige at logit-funktionen
udregner logaritmen til odds.
Tabel 5.1 Rismelsbillers overlevelse:
Tabellen viser antal døde/
totalantal for hvert køn og for
fire forskellige doser (mg/cm 2 ).
dosis M F
0.20 43/144 26/152
0.32 50/ 69 34/ 81
0.50 47/ 54 27/ 44
0.80 48/ 50 43/ 47
Tabel 5.2 Rismelsbillers overlevelse:
Observeret dødssandsynlighed
(relativ hyppighed) i hver af
de otte grupper.
dosis M F
0.20 0.30 0.17
0.32 0.72 0.42
0.50 0.87 0.61
0.80 0.96 0.91
den pågældende koncentration. Her er det ikke så interessant blot at få
at vide om der er en signifikant forskel på grupperne eller ej, det ville
være langt mere spændende hvis man kunne give en nærmere beskrivelse
af hvordan sandsynligheden for at dø afhænger af giftkoncentrationen, og
hvis man kunne udtale sig om hvorvidt giften virker ens på hanner og
hunner. Vi indfører noget notation og præciserer grundmodellen:
1. I den gruppe der svarer til dosis d og køn k, er der n dk biller hvoraf
y dk døde; her er k ∈ {M, F } og d ∈ {0.20, 0.32, 0.50, 0.80}.
2. Det antages at y dk er en observation af en stokastisk variabel Y dk
som er binomialfordelt med kendt antalsparameter n dk og med sandsynlighedsparameter
p dk .
3. Det antages desuden at de enkelte Y dk -er er stokastisk uafhængige.
Likelihoodfunktionen i grundmodellen er
(
ndk
L = ∏ ∏
)
p y dk
dk
y (1 − p dk) n dk−y dk
dk
k d
= ∏ ∏
( )
ndk
· ∏ ∏
( ) ydk pdk
· ∏ ∏
(1 − p dk ) n dk
y dk 1 − p dk
k d
k d
k d
= konst · ∏ ∏
( ) ydk pdk
· ∏ ∏
(1 − p dk ) n dk
,
1 − p dk
k
d
k
d
og log-likelihoodfunktionen er
ln L = konst + ∑ ∑ p dk
y dk ln + ∑ 1 − p dk
k d
k
= konst + ∑ ∑
y dk logit(p dk ) + ∑
k d
k
∑
n dk ln(1 − p dk )
d
∑
n dk ln(1 − p dk ).
d
De otte parametre p dk varierer uafhængigt af hinanden, og ̂p dk = y dk /n dk .
Opgaven i det følgende er at modellere p’s afhængighed af d og k.