Noter til E6 - dirac

dirac.ruc.dk

Noter til E6 - dirac

48 Nogle eksempler

logit-funktionen

Funktionen

logit(p) = ln

p

1 − p .

afbilder intervallet ]0,1[ bijektivt

på den reelle akse R. Den

omvendte funktion er

p =

exp(z)

1 + exp(z) .

Når p er sandsynligheden for en

bestemt hændelse (f.eks. at dø),

så er p/(1−p) forholdet mellem

sandsynligheden for hændelsen

og sandsynligheden for den

modsatte hændelse; dette tal

kaldes med et udtryk hentet fra

spillebranchen for odds for den

pågældende hændelse. Vi kan

dermed sige at logit-funktionen

udregner logaritmen til odds.

Tabel 5.1 Rismelsbillers overlevelse:

Tabellen viser antal døde/

totalantal for hvert køn og for

fire forskellige doser (mg/cm 2 ).

dosis M F

0.20 43/144 26/152

0.32 50/ 69 34/ 81

0.50 47/ 54 27/ 44

0.80 48/ 50 43/ 47

Tabel 5.2 Rismelsbillers overlevelse:

Observeret dødssandsynlighed

(relativ hyppighed) i hver af

de otte grupper.

dosis M F

0.20 0.30 0.17

0.32 0.72 0.42

0.50 0.87 0.61

0.80 0.96 0.91

den pågældende koncentration. Her er det ikke så interessant blot at få

at vide om der er en signifikant forskel på grupperne eller ej, det ville

være langt mere spændende hvis man kunne give en nærmere beskrivelse

af hvordan sandsynligheden for at dø afhænger af giftkoncentrationen, og

hvis man kunne udtale sig om hvorvidt giften virker ens på hanner og

hunner. Vi indfører noget notation og præciserer grundmodellen:

1. I den gruppe der svarer til dosis d og køn k, er der n dk biller hvoraf

y dk døde; her er k ∈ {M, F } og d ∈ {0.20, 0.32, 0.50, 0.80}.

2. Det antages at y dk er en observation af en stokastisk variabel Y dk

som er binomialfordelt med kendt antalsparameter n dk og med sandsynlighedsparameter

p dk .

3. Det antages desuden at de enkelte Y dk -er er stokastisk uafhængige.

Likelihoodfunktionen i grundmodellen er

(

ndk

L = ∏ ∏

)

p y dk

dk

y (1 − p dk) n dk−y dk

dk

k d

= ∏ ∏

( )

ndk

· ∏ ∏

( ) ydk pdk

· ∏ ∏

(1 − p dk ) n dk

y dk 1 − p dk

k d

k d

k d

= konst · ∏ ∏

( ) ydk pdk

· ∏ ∏

(1 − p dk ) n dk

,

1 − p dk

k

d

k

d

og log-likelihoodfunktionen er

ln L = konst + ∑ ∑ p dk

y dk ln + ∑ 1 − p dk

k d

k

= konst + ∑ ∑

y dk logit(p dk ) + ∑

k d

k


n dk ln(1 − p dk )

d


n dk ln(1 − p dk ).

d

De otte parametre p dk varierer uafhængigt af hinanden, og ̂p dk = y dk /n dk .

Opgaven i det følgende er at modellere p’s afhængighed af d og k.

More magazines by this user
Similar magazines