Noter til E6 - dirac

16 Den statistiske model
Man delte 20 nogenlunde ens marsvin op i to grupper, hvoraf den ene fik
appelsinsaft, og den anden fik en tilsvarende mængde »kunstigt« C-vitamin.
Efter seks ugers behandling målte man længden af fortændernes odontoblaster
(det tandbensdannende væv). Man fik da disse resultater (i hver gruppe er
observationerne ordnet efter størrelse):
appelsinsaft: 8.2 9.4 9.6 9.7 10.0 14.5 15.2 16.1 17.6 21.5
kunstigt C-vitamin: 4.2 5.2 5.8 6.4 7.0 7.3 10.1 11.2 11.3 11.5
Man kan fastslå at der må være tale om en art tostikprøveproblem. Karakteren
af observationerne gør at det ikke er urimeligt at forsøge sig med en normalfordelingsmodel
af en slags, og det er alt i alt nærliggende at sige at der er tale
om et »tostikprøveproblem med normalfordelte observationer«. Vi vil analysere
observationerne ved brug af denne model, mere nøjagtigt vil vi undersøge
om odontoblasternes middelvækst er den samme i de to grupper.
⊲ [Eksemplet fortsætter som eksempel 3.6 side 28.]
Simpel lineær regression
Regressionsanalyse, der er en stor underafdeling inden for statistik, handler
om at modellere middelværdistrukturen for (det som modellen opfatter
som) de stokastiske variable ved hjælp af et større eller mindre antal
kvantitative variable. Her ser vi på det simpleste tilfælde.
Der foreligger et antal sammenhørende værdier (x i , y i ), i = 1, 2, . . . , n,
hvor y i ’erne opfattes som observerede værdier af stokastiske variable
Y 1 , Y 2 , . . . , Y n , og x i ’erne er såkaldte baggrundsvariable eller forklarende
variable. Det er en væsentlig pointe at x’erne ifølge modellen er ikke-stokastiske.
Den simple lineære regressionsmodel går ud på at Y i ’erne er indbyrdes
uafhængige normalfordelte stokastiske variable med samme varians σ 2 og
med en middelværdistruktur af formen E Y i = α + βx i , eller sagt mere
præcist: der findes konstanter α og β således at E Y i = α + βx i for
alle i. Modellen indeholder således tre ukendte parametre, α, β og σ 2 .
Modelfunktionen er
n∏
(
f(y, α, β, σ 2 1
) = √ exp − 1 (y i − (α + βx i )) 2 )
i=1 2πσ
2 2 σ 2
(
= (2πσ 2 ) −n/2 exp − 1
n
)
∑
2σ 2 (y i − (α + βx i )) 2
hvor y = (y 1 , y 2 , . . . , y n ) ∈ R n , α, β ∈ R og σ 2 > 0. Log-likelihoodfunktionen
er
⊲ [Fortsættes side 28.]
ln L(α, β, σ 2 ) = − n 2 ln σ2 − 1
2σ 2
n ∑
i=1
i=1
(y i − (α + βx i )) 2 . (2.5)