Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

100 7 Bordismus T. tom Dieck
(1.4) Beispiel. Sei h: K → L ein Diffeomorphismus. Dann gilt [L, g] = [K, gh].
Beweis. Man betrachtet den Bordismus g ◦ pr: L × I → X; auf dem Randteil
L × 1 verwenden wir den kanonischen Diffeomorphismus zu L, auf dem Randteil
L×0 setzen wir den kanonischen Diffeomorphismus zu L mit h zusammen. Dieses
Beispiel erlaubt es uns meist, statt mit einer zu ∂B diffeomorphen Mannigfaltigkeit
mit ∂B selbst zu arbeiten.
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Gewisse formale Eigenschaften der Funktoren N n (−) machen diese zu einer
Homologietheorie. Wir definieren Homologietheorien im nächsten Abschnitt axiomatisch.
Hier sollen die relevanten Eigenschaften der Bordismenfunktoren bereitgestellt
werden.
Sei X Vereinigung der offenen Teilmengen X 0 und X 1 . Wir konstruieren einen
Homomorphismus
∂: N n (X) → N n−1 (X 0 ∩ X 1 ).
Sei [M, f] ∈ N n (X). Die Mengen M i = f −1 (X \ X i ) sind dann disjunkte abgeschlossene
Teilmengen von M. Dafür gilt:
(1.5) Lemma. Es gibt eine differenzierbare Funktion α: M → [0, 1] mit den
Eigenschaften:
(1) M i ⊂ α −1 (i) für i ∈ {0, 1}.
1
(2) ist regulärer Wert von α.
2
Beweis. Da M ein kompakter metrischer Raum ist, gibt es eine stetige Funktion
γ: M → [0, 1], so daß γ −1 (j) eine Umgebung von M j ist. Da γ in einer Umgebung
von M 0 ∪M 1 differenzierbar ist, gibt es nach (??) eine differenzierbare Abbildung
α, die (1) erfüllt. Sie hat in beliebiger Umgebung von 1 reguläre Werte. Indem
2
man einen geeigneten Diffeomorphismus I → I nachschaltet, kann 1 als regulärer
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Wert erzwungen werden.
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Wir nennen eine Abbildung α mit den in (1.5) genannten Eigenschaften eine
trennende Funktion für (M, f). Ist α eine trennende Funktion, so ist M α = α −1 ( 1)
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eine geschlossene Untermannigfaltigkeit von M der Dimension n − 1 (oder leer),
und f induziert durch Einschränkung f α : M α → X 0 ∩ X 1 .
Ist t ≠ 0, 1 irgendein anderer regulärer Wert von α, so sind α −1 (t) und α −1 ( 1)
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vermöge α −1 [ 1, t] bordant. Die Auswahl des Wertes 1 ist also unwesentlich. Unter
[M α , f α ] verstehen wir deshalb ein mit irgendeinem regulären Wert t von α
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gebildetes M α = α −1 (t).
(1.6) Lemma. Sei [K, f] = [L, g] ∈ N n (X) und seien α, β trennende Funktionen
für (K, f), (L, g). Dann ist [K α , f α ] = [L β , g β ].
Beweis. Sei (B, F ) ein Bordismus zwischen (K, f) und (L, g). Es gibt eine differenzierbare
Funktion γ: B → [0, 1] mit den Eigenschaften:
γ|K = α, γ|L = β, F −1 (X \ X j ) ⊂ γ −1 (j).
Wir wählen einen regulären Wert t für γ und γ|∂B und erhalten in γ −1 (t) einen
Bordismus zwischen einem K α und einem L β .
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