Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 5 Orientierung 93
ɛ(0) = −1, ɛ(1) = 1 festzulegen. Analog verfährt man bei einer beliebigen eindimensionalen
Mannigfaltigkeit.
Es ist ∂(I×M) = 0×M ∪1×M. Die Rand-Orientierung ist also auf 0×M ∼ = M
die negative und auf 1 × M ∼ = M die ursprüngliche, wenn I × M die Produkt-
Orientierung erhält.
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Ist M orientiert, so bezeichnen wir die entgegengesetzt orientierte Mannigfaltigkeit
mit −M. Das führt zum Beispiel zu der suggestiven Formel
∂(I × M) = 1 × M − 0 × M.
Sei f: M → N eine glatte Abbildung zwischen orientierten Mannigfaltigkeiten
und A das Urbild eines regulären Wertes y ∈ N. Wir haben eine exakte Sequenz
0 → T a A (1)
−→ T a M (2)
−→ T y N → 0
mit der Inklusion (1) und dem Differential T a f bei (2). Dadurch wird nach unseren
früheren Vereinbarungen über exakte Sequenzen eine Orientierung von T a A
und, wie man zeigt, eine von A festgelegt, die wir in solchen Fällen immer verwenden
wollen und Urbild-Orientierung nennen.
(5.7) Beispiel. Sei f: R n → R, (x i ) ↦→ ∑ x 2 i und S n−1 = f −1 (1). Die Urbild-
Orientierung ist gleich der Rand-Orientierung.
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Allgemeiner betrachten wir transverse Urbilder. Sei F : M → N glatt, B ⊂ N
eine glatte Untermannigfaltigkeit, F zu B transvers und f: A = F −1 (B) → B die
Einschränkung von F . Dann haben wir ein kommutatives Diagramm mit exakten
Zeilen
0 ✲ T a A ✲ T a M ✲ T a M/T a A ✲ 0
T a f T a F
❄
❄ (1)
0 ✲ T b B ✲ T b N ✲
ϕ
❄
T b N/T b B ✲ 0.
Nach unseren Konventionen bestimmen die Orientierungen von B und N eine von
T b N/T b B. Es werde ϕ als orientierungstreu postuliert. Die obere Zeile orientiert
dann A. Das liefert die Urbild-Orientierung von A. Falls B ein Punkt ist, sei (1)
orientierungstreu. Dann ergibt sich die früher festgelegte Orientierung.
Ist M eine Mannigfaltigkeit mit Rand und F |∂M ebenfalls transvers zu B, so
ist A eine Mannigfaltigkeit mit Rand ∂A = (F |∂M) −1 (B) = ∂M ∩ F −1 (B). Wir
haben damit zwei Orientierungen von ∂A zur Verfügung: Die Rand-Orientierung
und die Urbild-Orientierung. Es gilt:
(5.8) Satz. ∂(F −1 (B)) = (−1) k (F |∂M) −1 (B), mit k = dim N − dim B.
Beweis. Wir betrachten die Inklusionen des Diagrammes
T a A ⊂ T a M
∪
∪
T a ∂A ⊂ T a ∂M.