Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 7 Der analytische Abbildungsgrad 123
(7.8) Satz. Für n ≥ 1 ist ∫ : H n c (R n ) → R ein Isomorphismus.
Beweis. Während die bisherigen Überlegungen rein formaler Natur waren, muß
man nunmehr wirklich etwas über Integration verwenden. Wir beweisen den Satz
durch Induktion nach n.
n = 1. In diesem Fall haben wir unter einer Nullform eine Funktion
f: R → R mit kompaktem Träger zu verstehen, und es ist df = ∂f dx. Sei
ω ∈ Ω 1 c(R),
[ω] im Kern von ∫ liegt, falls also ∫ ∞
−∞
ω(x) = u(x)dx mit einer Funktion u mit kompaktem Träger. Falls
u(x) = 0 ist, so haben wir in
∂x
f(x) =
∫ x
−∞
u(x)dx
eine Nullform mit kompaktem Träger und äußerer Ableitung ω.
Für den Induktionsschritt vergleichen wir Ω n c (R n ) und Ω n−1
c (R n−1 ) über zwei
Abbildungen: Integration über eine Veränderliche und Produkt mit einer 1-Form.
Zunächst zur Integration.
Sei ω = f(x 1 , . . . , x n )dx 1 ∧ . . . ∧ dx n ∈ Ω n c (R n ) gegeben. Wir setzen
∫
F (ω) = ( f(x 1 , . . . , x n−1 , t)dt)dx 1 ∧ . . . ∧ dx n−1 ,
R
erhalten damit eine (n − 1)-Form auf R n−1 und eine lineare Abbildung
F : Ω n c (R n ) → Ω n−1
c (R n−1 ).
Sie induziert eine lineare Abbildung der de Rham-Kohomologie. Sei α
(R n ) in der Gestalt
Ω n−1
c
α =
n∑
(−1) i−1 P i (x 1 , . . . , x n )dx 1 ∧ . . . ∧ ̂dx i ∧ . . . ∧ dx n
i=1
angesetzt. Dann ist
dα = (
Wir definieren
∑n−1
∫
˜F α = (−1) i−1 (
Dann ist
i=1
R
d ˜F
∑n−1
∫
α = (
i=1
R
n∑
i=1
∂P i
∂x i
(x 1 , . . . , x n ))dx 1 ∧ . . . ∧ dx n .
P i (x 1 , . . . , x n−1 , t)dt)dx 1 ∧ . . . ̂dx i ∧ . . . ∧ dx n−1 .
∂P i
∂x i
(x 1 , . . . , x n−1 , t)dt)dx 1 ∧ . . . ∧ dx n−1 ,
∈