Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

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1 Seifertsche Faserungen
Wir untersuchen eine Klasse von dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten mit einer
gefaserten Zusatzstruktur. Sie wurden von Seifert 1933 eingeführt [?]. Von Seifert
stammt das Wort ”
Faserung“; es wird heute allerdings meist in anderem Sinne
gebraucht.
Eine Seifertsche Faserung ist eine glatte, kompakte, zusammenhängende,
orientierte 3-Mannigfaltigkeit mit einer glatten, effektiven S 1 -Operation ohne
Fixpunkte für die ganze Gruppe. Eine Seifert-Mannigfaltigkeit ist eine 3-
Mannigfaltigkeit, die eine derartige Zusatzstruktur besitzt.
Seifertsche Faserungen werden durch drei Sorten von Invarianten gekennzeichnet,
die wir alsbald erklären:
(1) Orbitinvarianten.
(2) Orbitraum.
(3) Euler-Zahl.
Wir setzen G = S 1 . Sei M eine Seifert-Faserung. Die Standgruppe G x von x ∈ M
ist eine endliche zyklische Gruppe. Jeder Punkt der Bahn C = Gx durch x hat
dieselbe Standgruppe. Die Bahn Gx ist diffeomorph zu G/G x , also zu S 1 . Demnach
ist M in disjunkte Kreise, die Bahnen, zerlegt. Auf diese Zerlegung bezieht
sich der Seifertsche Terminus ”
Faserung“. Die Orbitabbildung M → M/G ist
aber im allgemeinen nicht lokal trivial, und deshalb ist sie im allgemeinen keine
Faserung im Sinne der Bündeltheorie.
(1.1) Beispiel. Durch
S 1 × S 3 → S 3 , (λ, (z 1 , z 2 )) ↦→ (λ a z 1 , λ b z 2 )
mit teilerfremdem ganzen Zahlen a, b ∈ Z wird eine effektive fixpunktfreie S 1 -
Operation auf S 3 gegeben. Für z 2 = 0 erhält man eine 1-Sphäre mit Standgruppe
Z/a, für z 1 = 0 eine 1-Sphäre mit Standgruppe Z/b.
Sei |a| > 1 und |b| > 1. Eine Teilmenge der Form
K(c 1 , c 2 ) = {(z 1 , z 2 ) ∈ S 3 | c 1 z b 1 − c 2 z a 2 = 0},
abhängig von [c 1 , c 2 ] ∈ CP 1 , ist S 1 -stabil. Jeder Punkt von S 3 liegt in genau
einer solchen Menge. Setzen wir z k = r k exp(iϕ k ) mit r k ≥ 0 an, so sind die r k
durch die Gleichungen r 2 1 + r 2 2 = 1 und |c 1 |r b 1 = |c 2 |r a 2 eindeutig bestimmt. Die
Menge K(c 1 , c 2 ) liegt also auf dem Torus {(z 1 , z 2 ) | |z 1 | = r 1 , |z 2 | = r 2 } und wird
durch t ↦→ (z 1 exp(iat), z 2 exp(ibt)) für eine feste Lösung z 1 , z 2 beschrieben. Im
Fall c 1 ≠ 0 ≠ c 2 haben wir eine freie Bahn, und diese ist ein (a, b)-Torusknoten.
Die Orbitabbildung der Operation ist
S 3 → CP 1 ∼ = S 2 , (z 1 , z 2 ) ↦→ [c 1 , c 2 ] = [z a 2, z b 1].