Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 1 Seifertsche Faserungen 129
Beweis. Wir nehmen zunächst die Ausnahmeorbits heraus M 0 = M \ ⋃ j C j.
Auf M 0 haben wir eine freie G-Operation, und die Orbitabbildung M 0 → M 0 /G
ist ein glattes G-Prinzipalbündel über einer orientierten Fläche (siehe ??). Für die
Ausnahmefaser C i wählen wir eine äquivariante tubulare Umgebung Φ i : G × H(i)
C(b i ) → U i . Die Orbitabbildung auf der Quelle von Φ i beschreiben wir durch
q i : G × C(b i ) → C, (λ, w) ↦→ w a i
.
Wir übertragen diese Orbitabbildung auf U i und erhalten aus Φ i eine lokale
Parametrisierung ϕ i : C → U i /G, mit der wir eine Karte definieren. Karten dieser
Art sind mit den Karten aus dem G-Prinzipalbündel glatt und positiv verbunden.
Die resultierende Fläche erbt deshalb eine Orientierung.
✷
Das Geschlecht der Fläche M/G ist die globale Orbitinvariante der Seifert-
Faserung M.
(1.7) Notiz. Es gibt eine endliche Untergruppe K ⊂ S 1 , die sämtliche Standgruppen
enthält. Das kleinste K ist die zyklische Gruppe, deren Ordnung das
kleinste gemeinsame Vielfache der Standgruppenordnungen ist.
✷
(1.8) Satz. Enthalte K ⊂ G sämtliche Standgruppen. Dann ist die Orbitabbildung
M/K → M/G ein G/K-Prinzipalbündel.
Beweis. Man verifiziert, daß die Standgruppen der G/K-Operation auf M/K
trivial sind. Nach allgemeinen Sätzen ist eine freie Operation von S 1 auf einem
kompakten Hausdorff-Raum lokal trivial (??). In unserem Fall kann man lokale
Karten aber auch aus den äquivarianten tubularen Umgebungen der Bahnen
konstruieren.
✷
Wir identifizieren G/K mit S 1 vermöge zK ↦→ z |K| . Damit wird M/K →
M/G ein S 1 -Prinzipalbündel. Es hat eine Euler-Zahl e(M, K) ∈ Z. Das ist die
Euler-Zahl des komplexen Geradenbündels M/K × G/K C → M/G, das zum
Prinzipalbündel assoziert ist.
(1.9) Satz. Die rationale Zahl e(M, K)/|K| ist unabhängig von der Wahl der
Gruppe K, die sämtliche Standgruppen enthält.
Beweis. Seien L ⊃ K Untergruppen mit der genannten Eigenschaft. Dann
operiert die zyklische Gruppe L/K ⊂ G/K auf M/K mit dem Orbitraum M/L.
Wir müssen die Relation |L/K|e(M, K) = e(M, L) zeigen. Sie beruht auf dem
allgemeinen Sachverhalt, daß M/L → M/G das Sphärenbündel zum |L/K|fachen
Tensorprodukt des Geradenbündels M/K × G/K C → M/G ist, und auf
der Additivität der Euler-Zahl bei Tensorprodukten (siehe ??).
✷
Wir nennen e(M) = e(M, K)/K| ∈ Q die Euler-Zahl der Transformationsgruppe
M. Damit haben wir die drei angekündigten Invarianten einer Seifert-
Faserung definiert.
(1.10) Beispiel. Die Euler-Zahl der (a, b)-Operation aus Beispiel (??.1) ist
− 1 . Wir gehen davon aus, daß im Falle der Hopf-Faserung a = b = 1 die
ab