Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

134 8 Weiteres T. tom Dieck
Wir suchen, damit verträglich, einen Diffeomorphismus von F 0 × S 1 , der auf
dem Orbitraum die Identität induziert. Jeder solche Diffeomorphismus hat die
Form (x, z) ↦→ (x, f(x)z) mit einer differenzierbaren Abbildung f: F 0 → S 1 ,
die beliebig wählbar ist. Wir haben jedoch ein gesuchtes f auf dem Rand von
F 0 schon vorgegeben. Es existiert genau dann eine Erweiterung auf F 0 , wenn die
Summe der Abbildungsgrade auf den Komponenten gleich Null ist. Diese Summe
ist
m∑
δ = (c ′ id i − c i d ′ i).
i=1
Wir multiplizieren die Summe mit µ = ∏ i µ i = µ i · ˆµ i . Die Gleichheit der Euler-
Zahlen besagt ∑ i ˆµ id i = ∑ i ˆµ id ′ i. Wir setzen in µδ jeweils c ′ iµ i = 1 − ν i d ′ i und
c i µ i = 1 − ν i d i ein und bedenken die Gleichheit der Euler-Zahlen. Es folgt δ = 0.
✷
Zum endgültigen Beweis des Klassifikationssatzes (??.12) bleibt also zu zeigen:
(1.18) Satz. Jede Seifert-Faserung M ist zu einem Standardmodell mit denselben
Invarianten äquivariant diffeomorph.
Beweis. Jeden Ausnahmeorbit benutzen wir zu einer Dehn-Chirurgie, und zwar
derart, daß eine freie Operation entsteht. Wird eine Umgebung eines solchen
Orbits durch die Einbettung t: D 2 (ν)×S 1 (µ) → M gegeben, so haben wir Dehn-
Chirurgie mit einer Matrix
( ) ν µ
A = : S 1 (1) × S 1 (0) → S 1 (ν) × S 1 (µ),
b d
durchzuführen, was wegen der Teilerfremdheit von µ und ν möglich ist. Dabei
können wir d in der Restklasse νd ≡ 1 mod µ frei wählen. Das Resultat ist eine
freie S 1 -Mannigfaltigkeit M ′ mit der Euler-Zahl
e ′ = e + ∑ i
d i
µ i
∈ Z.
Durch geeignete Wahl von d i in der vorgeschriebenen Restklasse können wir
erreichen, daß e ′ = 0 ist, also M ′ diffeomorph zu einem trivialen Bündel ϕ: M ′ ∼ =
F × S 1 über einer orientierten Fläche F . Die Einbettungen
t
S 1 × D 2 i ϕ
✲ M ′ ✲ F × S 1
pr
❄
D 2
τ i
✲
pr
❄
F
haben die Form (g, x) ↦→ (τ i (x), α i (x)g) mit α i : D 2 → S 1 . Da die α i nullhomotop
sind, kann man ϕ so abändern, daß alle α i konstant den Wert 1 haben. Wenn
man mit den resultierenden Einbettungen die Dehn-Cirurgie wieder rückgängig
macht, so erkennt man, daß M diffeomorph zu einem Standardmodell ist. ✷