Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 1 Prinzipalbündel. Faserbündel 77
die mit den Abbildungen auf U verträglich sind. Das ist mit der lokalen Trivialität
gemeint. Da B und F hausdorffsch sind, folgert man, daß auch E × G F hausdorffsch
ist. Die Stetigkeit der Differenzabbildung für E × F folgt unmittelbar
aus derjenigen für E.
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Wir nennen q: E × G F → B das zum G-Prinzipalbündel p: E → B assoziierte
Faserbündel mit typischer Faser F und Strukturgruppe G. Ist speziell F eine Darstellung
von G, so entstehen auf diese Weise die sogenannten Vektorraumbündel.
Diesen Gesichtspunkt werden wir im nächsten Abschnitt beim Tangentialbündel
antreffen.
Das Tangentialbündel T M einer glatten n-Mannigfaltigkeit M entsteht als
assoziiertes Bündel aus einem GL(n, R)-Prinzipalbündel r M : P (M) → M, dem
sogenannten Rahmenbündel. Als Menge ist
P (M) = ∐ p∈M Iso(Rn , T p M).
Darin ist Iso(R n , T p M) die Menge der linearen Isomorphismen der beteiligten
Vektorräume. Zu jeder Karte k = (U, h, V ) von M wird eine Bündelkarte
ϕ k : P (U) = ∐ p∈U Iso(Rn , T p M) → U × Aut(R n ), (p, α) ↦→ (p, i k ◦ α)
von r M definiert. Diese Abbildung ist Aut(R n )-äquivariant, wenn Aut(R n ) auf
Iso(R n , T p M) von rechts durch Verkettung operiert. Die Kartenwechsel sind glatt,
sie haben nämlich die Form (p, β) ↦→ (p, i l ◦ i −1
k
◦ β), sind also die Linksmultiplikation
mit der Jacobi-Matrix. Wir können daher durch Verheftung P (M) zu
einer glatten Aut(R n )-Mannigfaltigkeit machen, und die Projektion (p, α) ↦→ p
ist dann ein glattes Aut(R n )-Prinzipalbündel. Die kanonischen Bijektionen
Iso(R n , T p M) × Aut(R n ) R n → T p M,
(β, v) ↦→ β(v)
schließen sich zu einem Diffeomorphismus
P (M) × Aut(R n ) R n ∼ = T (M)
zusammen. Diese Art, das Tangentialbündel als assoziiertes Faserbündel zu betrachten,
hat den Vorteil, daß viele weitere mit der Mannigfaltigkeit verbundene
Bündel auf dieselbe Weise entstehen. Man verwendet dann andere Aut(R n )-
Darstellungen anstelle der Standarddarstellung. Solche Darstellungen erhält man
zum Beispiel aus der Standarddarstellung durch Prozesse der linearen Algebra:
Duale Darstellung, äußere Potenzen und so weiter. Die duale Darstellung liefert
das Kotangentialbündel.