Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

128 8 Weiteres T. tom Dieck
Man beachte, daß (z 1 , z 2 ) ↦→ (z 1 , z 2 ) ein orientierungstreuer Diffeomorphismus
ist. Also liefern (a, b) und (−a, −b) orientiert isomorphe S 1 -Mannigfaltigkeiten.
Wir werden später sehen, daß alle fixpunktfreien S 1 -Operationen auf S 3 von
diesem Typ sind.
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(1.2) Beispiel. Wir betrachten die durch die Gleichung
z p 0 + z q 1 + z r 2 = 0
in S 5 = S(C 3 ) herausgeschnittene Brieskorn-Mannigfaltigkeit B = B(p, q, r).
Darin seien p, q, r paarweise teilerfremd (der Einfachheit halber). Sei a = pqr.
Wir haben die effektive S 1 -Operation
(λ, (z 0 , z 1 , z 2 )) ↦→ (λ a/p z 0 , λ a/q z 1 , λ a/r z 2 ).
Ist z 2 = 0, so verbleibt eine Bahn mit der Standgruppe Z/r; analog für z 0 = 0
und z 1 = 0.
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Die lokale Struktur der G-Operation wird durch die äquivarianten tubularen
Umgebungen der Bahnen, den sogenannten Scheibenbündeln gegeben. Sei H ⊂ G
eine zyklische Untergruppe und sei C(b) die H-Darstellung
H × C → C, (λ, z) ↦→ λ b z.
Damit bilden wir das komplexe Geradenbündel G × H C(b) → G/H. Der Nullschnitt
hat die Standgruppe H. Ist b zu |H| teilerfremd, so ist die Operation
außerhalb des Nullschnittes frei. Aus allgemeinen Überlegungen (??) wissen wir:
(1.3) Notiz. Jeder Orbit einer Seifert-Faserung hat eine offene Umgebung, die
zu einer Mannigfaltigkeit der Form G × H C(b) orientiert G-äquivariant diffeomorph
ist.
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Aus den Vorbemerkungen und der Kompaktheit von M sehen wir nun, daß es
nur endlich viele Bahnen mit nichttrivialer Standgruppe gilt. Seien C 1 , . . . , C m
diese Bahnen; wir nennen sie Ausnahmefasern der Operation. Sei H(i) = Z/a i
die Standgruppe von C i und C(b i ) die zugehörige Scheibendarstellung mit einer
primen Restklasse b i ∈ Z/a i . Das System der Paare (a 1 , b 1 ), . . . , (a m , b m ) nennen
wir die lokalen Orbitinvarianten der Operation.
(1.4) Bemerkung. Der G-Raum G × H C(b) ist G-diffeomorph zum Produkt
G/H × C(b), siehe ??. Hierbei ist b als ganze Zahl und C(b) als S 1 -Darstellung
aufzufassen.
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(1.5) Beispiel. Die Scheibendarstellung von B(p, q, r) der Bahn C 2 = {z 2 = 0}
ist C(pq). Das Normalenbündel von C 2 in B(p, q, r) ist nämlich die Einschränkung
des Normalenbündels von z 2 = 0 in C 3 , und für Letzteres ist die Behauptung
klar.
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(1.6) Satz. Der Orbitraum M/G ist in kanonischer Weise eine geschlossene
glatte orientierte Fläche.