Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

52 3 Vektorfelder und Flüsse T. tom Dieck
Beweis. Wegen (3.2) haben wir nur noch zu bedenken, daß T π M die Form
(v, w) ↦→ w hat, da π M auf den Fasern konstant ist und auf dem horizontalen
Teil die Identität.
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Wegen (3.3) und (??) gibt es eine offene Umgebung U(ξ) ⊂ O(ξ) des Nullschnittes,
die bei (π, exp) diffeomorph auf eine offene Umgebung W (ξ) ⊂ M ×M
der Diagonale abgebildet wird. Durch Verkleinerung können wir U(ξ) noch eine
ansprechende Form geben. Dazu versehen wir T M mit eine Riemannschen
Metrik 〈 −, − 〉 und wählen eine glatte Funktion ε: M → ]0, ∞[ , so daß
T ε (M) = {v ∈ T x M | ‖v‖ < ε(x)}
in U(ξ) liegt. Dann ist π M : T ε (M) → M ein Bündel, dessen Fasern offene Kugeln
um den Fasernullpunkt sind.
4 Normalenbündel und tubulare Umgebungen
Sei i: A ⊂ M die Inklusion einer glatten Untermannigfaltigkeit. Das Differential
T i : T A → T M|A ist eine injektiver Bündelmorphismus. Wie üblich fassen
wir dabei T a A als Unterraum von T a M auf. Wir fixieren eine Riemannsche Metrik
auf M und bilden damit das orthogonale Komplement N a A = (T a A) ⊥ von
T a A in T a M. Wir erhalten daraus das Unterbündel NA von T M|A, genannt
das Normalenbündel der Untermannigfaltigkeit. Bis auf Isomorphie ist das Normalenbündel
unabhängig von der Riemannschen Metrik, da es isomorph zum
Quotientbündel der Inklusion T A → T M|A ist. Wir haben eine direkte Zerlegung
T M|A = NA ⊕ T A von Bündeln, die fasernweise die direkte Zerlegung
T a M = N a A ⊕ T a A in Unterräume ist.
Sei ξ ein Spray auf M und exp: O → M seine Exponentialabbildung. Dann ist
O ∩ NA eine offene Umgebung des Nullschnittes A ⊂ O ∩ NA ⊂ T A. Bezüglich
der Zerlegung
T a O = T a M ⊕ T a M
in den vertikalen und horizontalen Anteil ist
T a |(O ∩ NA) = N a A ⊕ T a A.
Da T a exp auf beiden Summanden die Identität ist (14.2), so ist das Differential
der Einschränkung
t = exp |O ∩ NA: O ∩ NA → M
auf den Summanden N a A und T a A die Inklusion dieser Unterräume in T a M.
Wir können deshalb das Differential von t am Nullschnitt im wesentlichen als
Identität ansehen. Da t: A → M die Inklusion ist, so gibt es nach (??) eine offene
Umgebung U von A in O ∩ NA, die durch t auf eine offene Umgebung V von A
in M eingebettet wird.
(4.1) Lemma. Sei U eine offene Umgebung des Nullschnittes in einem glatten
Vektorraumbündel q: E → A. Dann gibt es eine fasernweise Einbettung σ: E →