Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 9 Mannigfaltigkeiten mit Rand 25
jedem x ∈ N gibt es eine Karte (U, h, V ), V ⊂ R n + offen, von M um x mit der
Eigenschaft h(U ∩ N) = V ∩ (R k × 0). Solche Karten von M heißen N angepaßt.
Es ist V ∩ (R k × 0) ⊂ R k + × 0 = R k + offen in R k +. Ein Diffeomorphismus auf eine
Untermannigfaltigkeit vom Typ 1 heißt Einbettung vom Typ 1. Zwei Folgerungen
zieht man unmittelbar aus der Definition.
(9.3) Notiz. Sei N ⊂ M eine Untermannigfaltigkeit vom Typ 1 von M. Die
Einschränkungen h: U ∩N → h(U ∩N) der an N angepaßten Karten bilden einen
glatten Atlas für N, der N zu einer glatten Mannigfaltigkeit mit Rand macht. ✷
(9.4) Notiz. Sei N ⊂ M Untermannigfaltigkeit vom Typ 1 von M. Dann ist
N ∩ ∂M = ∂N und ∂N ist Untermannigfaltigkeit von ∂M.
✷
Sei M eine glatte n-Mannigfaltigkeit ohne Rand. Eine Teilmenge N ⊂ M ist
eine k-dimensionale glatte Untermannigfaltigkeit (vom Typ 2) von M, wenn gilt:
Zu jedem x ∈ N gibt es eine Karte (U, h, V ) von M um x mit der Eigenschaft
h(U∩N) = V ∩(R k +×0). Solche Karten heißen N angepaßt. Ein Diffeomorphismus
auf eine Untermannigfaltigkeit vom Typ 2 heißt Einbettung vom Typ 2. Auch hier
gilt die zu (9.3) analoge Aussage, und ∂N ist eine glatte Untermannigfaltigkeit
von M. Man kann natürlich auch Mischformen der Typen 1 und 2 betrachten.
Sei M eine Mannigfaltigkeit mit Rand und N eine ohne Rand. Durch Produktbildung
von Karten wird M × N eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Es gilt
∂(M × N) = ∂M × N. Das Produkt zweier glatter Mannigfaltigkeiten mit nichtleerem
Rand ist aber nicht ohne besondere Vorkehrung eine glatte Mannigfaltigkeit
mit Rand; das Problem ist die differenzierbare Struktur in einer Umgebung
von ∂M × ∂N. Dazu später mehr.
Ist x ∈ ∂M und (U, h, V ) = k eine Karte um x mit in R n + offenem V , so
haben wir einen Isomorphismus i k : T x (M) → R n , wie im dritten Abschnitt erklärt
wurde. Sei i k (w) = v = (v 1 , . . . , v n ). Wir sagen, w weist nach innen (nach außen,
ist tangential zu ∂M), wenn v 1 > 0 (v 1 < 0, v 1 = 0) ist. Man überlege sich,
daß diese Disjunktion nicht von der Wahl der Karte abhängt. Das beruht auf
Folgendem. Sei f = (f 1 , . . . , f n ) ein Diffeomorphismus zwischen offenen Mengen
von R n +, der den Nullpunkt festläßt. Dann hat die Funktionalmatrix im Nullpunkt
die Form
⎛
⎞
D 1 f 1 D 2 f 1 · · · D n f 1
0 D 2 f 2 · · · D n f 2
⎜
⎟
⎝ .
⎠
0 D 2 f n · · · D n f n
mit positivem D 1 f 1 (darin ist D i die i-te partielle Ableitung). Die Inklusion
j: ∂M ⊂ M ist glatt und T x j: T x (∂M) → T x (M) ist injektiv. Das Bild von T x j
besteht aus den zu ∂M tangentialen Vektoren. Wir betrachten T x j meist als
Inklusion.
Der nächste Satz zeigt insbesondere, daß D n ein Untermannigfaltigkeit von
R n vom Typ 2 ist.