Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 1 Seifertsche Faserungen 133
Mit dem letzten Satz folgt die Behauptung.
(1.15) Bemerkung. Durch die Dehn-Chirurgie im letzten Satz wird eine Bahn
mit den Orbitinvarianten (µ, ν) produziert. Die Zahl d unterliegt wegen νd+µc =
1 lediglich der Bedingung νd ≡ 1 mod µ. ✸
(1.16) Konstruktion von Standardmodellen. Sei F eine orientierte Fläche
vom Geschlecht g. Wir beginnen mit dem trivialen S 1 -Prinzipalbündel F ×S 1 →
F . Wir wählen disjunkte, orientierungstreue Einbettungen τ i : D 2 → F und dazu
Einbettungen t i = τ i × id: D 2 × S 1 → F × S 1 . Zu jedem i wählen wir eine Matrix
( )
νi c
σ i =
i
∈ SL(2, Z) µ
−µ i d i > 0
i
und führen damit äquivariante Dehn-Chirurgie mit den Einbettungen t i durch.
Das Resultat ist eine Seifert-Faserung M mit den Invarianten
wobei e nach (??) durch
(g, e; (µ 1 , ν 1 ), . . . , (µ m , ν m )),
e = −
festgelegt ist. (Bei Dehn-Chirurgie ändert sich das Geschlecht des Orbitraumes
nicht.) Das Resultat einer derartigen Konstruktion nennen wir ein
Standardmodell.
✸
(1.17) Satz. Die Standardmodelle sind durch ihre Invarianten bis auf orientierte
äquivariante Diffeomorphie bestimmt.
Beweis. Seien F und F ′ Flächen gleichen Geschlechts und τ i : D 2 und τ i: ′ D 2 →
F ′ zwei Systeme von Einbettungen. Dann gibt es einen Diffeomorphismus α: F →
F ′ mit α ◦ τ i = τ i. ′ Da F und F ′ diffeomorph sind, folgt das daraus, daß je zwei
Systeme von Einbettungen in dieselbe Fläche ambient isotop sind. Seien nun für
jedes i Orbitinvarianten (µ i , ν i ) gegeben. Dann sind dadurch die ν i nur modulo µ i
bestimmt. Analog für die gestrichenen Größen. Nach Voraussetzung ist µ i = µ ′ i.
Wir wissen schon, daß die Dehn-Chirurgie dasselbe Resultat liefert, wenn
( )
νi c i
−µ i d i
durch
m∑
i=1
d i
µ i
( )
νi − kµ i c i + kµ i
−µ i d i
ersetzt wird. Wir können deshalb annehmen, daß F = F ′ , τ i = τ ′ i, µ i = µ ′ i und
ν i = ν ′ i ist.
Der zu findende Diffeomorphismus zwischen M und M ′ soll auf den jeweils
angehefteten S 1 ×D 2 die Identität sein. Vermöge der σ i und σ ′ i unterscheiden sich
diese Diffeomorphismen auf dem entsprechenden Randteil von (F \ ⋃ i U ◦ i )×S 1 =
F 0 × S 1 um die Matrix ( 1 c
′
i d i − c i d ′ i
0 1
)
.