Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 1 Morse-Funktionen 149
Df, so heißt das definitionsgemäß: 0 ∈ Hom(R n , R) ist kein kritischer Wert von
Df.
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(1.4) Lemma. Sei f: U → R glatt und λ ∈ Hom(R n , R). Die Funktion f λ : x ↦→
f(x) − λ(x) ist genau dann eine Morse-Funktion, wenn λ kein kritischer Wert
von Df ist. Für alle λ bis auf eine Nullmenge ist f λ eine Morse-Funktion.
Beweis. Es ist Df λ = Df − λ. Genau dann ist Null ein regulärer Wert von
Df λ , wenn λ einer von Df ist. Die zweite Aussage folgt aus dem Satz von Sard.
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Wir verwenden im nächsten Lemma Supremumnormen der ersten und zweiten
Ableitungen ‖Df‖ K = max(| ∂f
∂x j
(x)| | x ∈ K, 1 ≤ j ≤ n) und ‖D 2 f‖ K =
∂
max(|
2 f
∂x i ∂x j
(x)| | x ∈ K, 1 ≤ i, j ≤ n).
(1.5) Lemma. Sei K ⊂ U kompakt. In K habe f: U → R nur nichtausgeartete
kritische Punkte. Dann gibt es ein δ > 0, so daß alle glatten g: U → R mit
‖Df − Dg‖ K < δ,
‖D 2 f − D 2 g‖ K < δ
ebenfalls nur nichtausgeartete kritische Punkte in K haben.
Beweis. Seien x 1 , . . . , x r die kritischen Punkte von f in K. Es gibt nur endlich
viele, da K kompakt ist und nichtausgeartete Punkte isoliert liegen. Da in einem
nichtausgearteten kritischen Punkt det(D 2 f(x j )) ≠ 0 ist, können wir ein ε > 0
so fixieren, daß für alle x ∈ D ε (x j ) die Determinante det(D 2 f(x)) ≠ 0 ist. Es gibt
dann ein δ > 0, so daß für alle g mit ‖D 2 f − D 2 g‖ K < δ und alle x ∈ D ε (x j ) ∩ K
auch det(D 2 g(x)) > 0 ist und somit alle kritischen Punkte von g in K ∩ D ε (x j )
nichtausgeartet sind. Da f in L = K \∪ j U ε (x j ) keine kritischen Punkte hat, gibt
es ein c > 0 mit ‖Df‖ L ≥ c. Wir wählen nun δ > 0 außerdem so, daß für alle
g mit ‖Df − Dg‖ K < δ die Norm ‖Dg‖ ≥ c/2 ist; dann liegen die kritischen
Punkte von g|K in ∪ j D ε (x j ).
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(1.6) Satz. Jeder Bordismus (B; V, W ) besitzt eine Morse-Funktion
Beweis. Es gibt zunächst einmal eine glatte Funktion g: B → [0, 1], die in einer
Umgebung von ∂B keine kritischen Punkte hat und für die V = g −1 (0) und W =
g −1 (1) ist. Eine derartige Funktion gibt sicher auf disjunkten Kragenumgebungen
von V und W , und mit einer geeigneten Partition der Eins wird diese dann auf
B erweitert (vergleiche (10.4)).
Sei U eine offene Umgebung von ∂B, auf der g keine kritischen Punkte hat. Sei
P eine offene Umgebung von ∂B, deren Abschluß in U liegt. Sei (U 1 , . . . , U r ) eine
offene Überdeckung von B\P durch Kartenbereiche U j ⊂ B\∂B und (C 1 , . . . , C r )
eine Überdeckung von B \ P durch kompakte Mengen C i mit C i ⊂ U i .
Es habe g: B → [0, 1] mit g −1 (0) = V und g −1 (1) = W auf P ∪ C 1 ∪ . . . ∪ C i
für 0 ≤ i < r nur nichtausgeartete kritische Punkte. Für i = 0 gibt es eine