Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

44 2 Mannigfaltigkeiten II T. tom Dieck
Beweis. Das gilt wegen der in (5.5) ausgesprochenen Isomorphie der Kokerne.✷
(5.7) Korollar. Wir wenden die vorige Aussage auf das Diagramm
M ✲ {s}
W
f
✲
i s
❄
M × S
pr
✲
❄
S
an und erhalten: f ist genau dann transvers zu i s : x ↦→ (x, s), wenn s ein regulärer
Wert von pr ◦f ist.
✷
Sei F : M × S → N glatt und Z ⊂ N eine glatte Untermannigfaltigkeit. Seien
S, Z und N randlos. Für s ∈ S setzen wir F s : M → N, x ↦→ F (x, s). Wir
betrachten F als eine parametrisierte Familie von Abbildungen F s . Dann gilt:
(5.8) Satz. Seien F : M ×S → N und ∂F = F |(∂M ×S) transvers zu Z. Dann
sind für alle s ∈ S bis auf eine Nullmenge die Abbildungen F s und ∂F s beide
transvers zu Z.
Beweis. Nach (5.3) ist W = F −1 (Z) eine Untermannigfaltigkeit von M ×S mit
Rand ∂W = W ∩ ∂(M × S). Sei π: M × S → S die Projektion. Die Aussage
des Satzes folgt mit dem Satz von Sard, wenn wir folgendes zeigen: Ist s ∈ S
regulärer Wert von π: W → S, so ist F s transvers zu Z, und ist s ∈ S regulärer
Wert von ∂π: ∂W → S, so ist ∂F s transvers zu Z. Diese Aussage ergibt sich aus
(5.7). ✷
(5.9) Satz. Sei f: M → N eine glatte Abbildung und Z ⊂ N eine Untermannigfaltigkeit.
Seien Z und N randlos. Sei C ⊂ M abgeschlossen und f beziehungsweise
∂f transvers zu Z in allen Punkten von C beziehungsweise ∂M ∩ C.
Dann gibt es eine glatte Abbildung g: M → N, die zu f homotop ist, auf C mit
f übereinstimmt und auf M und ∂M transvers zu Z ist.
Beweis. Sei zunächst C leer. Wir benutzen: N ist diffeomorph zu einer Untermannigfaltigkeit
eines R k ; es gibt eine offene Umgebung U von N in R k und eine
Submersion r: U → N mit r|N = id (siehe ??). Sei S = E k ⊂ R k die offene
Einheitskugel und
F : M × S → N,
(x, s) ↦→ r(f(x) + ε(x)s).
Darin ist ε: M → ]0, ∞[ eine nach (??) existierende glatte Funktion, so daß diese
Vorschrift sinnvoll ist. Es ist F (x, 0) = f(x). Wir behaupten: F und ∂F sind
Submersionen. Zum Beweis betrachte man für festes x die Abbildung
S → U ε (f(x)),
s ↦→ f(x) + ε(x)s,
die als Einschränkung eines affinen Automorphismus von R k sicherlich eine Submersion
ist. Die Zusammensetzung mit r ist dann ebenfalls eine Submersion.