Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 2 Transformationsgruppen 67
fassen G selbst als G-Mannigfaltigkeit auf, die Operation wird durch Gruppenmultiplikation
von links gegeben. Die Abbildung β: G → M, g ↦→ gx ist dann eine
glatte G-Abbildung. Ihr Bild ist die Bahn B = Gx durch x. Algebraisch induziert
β eine bijektive G-äquivariante Mengenabbildung β: G/G x → B. Die Frage
liegt nahe, ob diese Bijektion in sinnvoller Weise zu einem Diffeomorphismus
verbessert werden kann. Wir notieren zunächst:
Die Abbildung β hat konstanten Rang. Das folgt aus der Äquivarianz. Seien
nämlich L g : G → G und l g : M → M die Linkstranslationen mit g. Dann gilt
l g ◦ β = β ◦ L g , und da L g und l g Diffeomorphismen sind, zeigt die Kettenregel,
daß T e β und T g β denselben Rang haben.
(2.2) Notiz. Sei B eine glatte Untermannigfaltigkeit von M. Dann gilt:
(1) β: G → B ist eine Submersion.
(2) G x = β −1 (x) ist eine abgeschlossene Liesche Untergruppe von G.
(3) Es gibt genau eine glatte Struktur auf G/G x , so daß die Restklassenabbildung
G → G/G x eine Submersion ist. Die induzierte Abbildung β ist ein
Diffeomorphismus.
Beweis. Hätte β irgendwo einen Rang, der kleiner als die Dimension von B ist,
so hätte β überall kleineren Rang. Das widerspricht aber dem Satz von Sard. Wir
übertragen nun vermöge der Bijektion β die glatte Struktur von B auf G/G x .
Die Eindeutigkeit der glatten Struktur folgt aus (3.9). Als Urbild eines regulären
Wertes ist G x eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit.
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Wegen des voranstehenden Resultates werden uns die Gruppen G x als Liesche
Untergruppen geliefert; wir müssen nicht den Satz (2.1) anwenden.
(2.3) Darstellungen. Sphären. Eine Darstellung der Lieschen Gruppe G auf
einem reellen Vektorraum V ist eine glatte Operation von G auf V , deren Linkstranslationen
lineare Abbildungen sind. Die Standarddarstellung von GL(n, R)
auf dem R n ist die Matrizenmultiplikation (A, v) ↦→ Av. Die Einschränkungen auf
Untergruppen bezeichnen wir ebenfalls als Standarddarstellung. Die Einheitsvektoren
bilden eine Bahn unter der SO(n)- und O(n)-Operation. Die Standgruppen
des Einheitsvektors e n unter der O(n)-Operation ist kanonisch isomorph zu
O(n−1). Wir erhalten damit aus dem Vorhergehenden einen O(n)-äquivarianten
Diffeomorphismus S n−1 ∼ = O(n)/O(n − 1). Wir haben ebenso die Standarddarstellung
von GL(n, C) auf C n . Damit erhalten wir äquivariante Diffeomorphismen
S 2n−1 ∼ = U(n)/U(n − 1) ∼ = SU(n)/SU(n − 1).
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(2.4) Stiefel-Mannigfaltigkeiten. Auf dem Vektorraum (R n ) p der p-Tupel
von Vektoren x j ∈ R n operiert GL(n, R) von rechts durch Matrizenmultiplikation.
Die offene Teilmenge S p (bbbr n ) der linear unabhängigen p-Tupel ist eine
Bahn: Die Stiefel-Mannigfaltigkeit der p-Beine im R n . Die Standgruppe ∆ p der
Standardeinheitsvektoren (e 1 , . . . , e p ) ist die Menge der Matrizen der Form
( )
Ep 0
∈ GL(n, R)
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